群论1第三章.pdf

第三章第三章三维转动群三维转动群 3.0 李群简述李群简述  李群是一种连续群，每个群元可以用一组（m 个个））独立的实参数描写独立的实参数描写，这些参数称为这些参数称为群参数群参数。 这组参数可以在欧氏空间的某个区域内连续变 化化，这个区域称为这个区域称为参数空间参数空间。  通常选取合适的群参数，使得 1. 参数空间内，群参数和群元一一对应 2. 单位元对应的群参数都为0 3. 群参数连续变化时，群元也连续变化  独立实参数的数目定义为连续群的阶独立实参数的数目定义为连续群的阶，也是参也是参 数空间的维数。 李群的群参数李群的群参数  群元乘法规则g(a)g(b)=g(c)可以通过群参数 a,b,c的函数关系体现：c=F(a;b)  群的乘法规则要求群的乘法规则要求  当当F(F(a;b)b)对于对于a和和bb是连续可微函数时是连续可微函数时，GG为李群为李群  当a和b为小量时 3.01 李群的局域性质李群的局域性质 生成元  无穷小元素  幺正变换算符 生成元反厄米 X+ = ¡Xi i ¯ @g ¯ ¯ 定义厄米生成元Ji = iXi = i ¯ @ai aa=00 i  非无穷小群元非无穷小群元 gg ((a)) = e¡ia Ji 生成元的对易关系成元的对易关系  阿贝尔群阿贝尔群 生成元彼此对易  非阿贝尔群非阿贝尔群 [X ; X ] = Ck X i j ij k  Jacobi恒等式 [[[[XX ; XX ]] ; XX ]] ++ [[[[XX ; XX ]] ; XX ]] ++ [[[[XX ; XX ]] ; XX ]] = 00 i j k j k i k i j  结构常数 Ck = ¡Ck ; Cl Cn + Cl Cn + Cl Cn = 0 ij ji ij kl jk il ki jl 3.02 李群的整体性质李群的整体性质  连通性：群中任意两元素在参数空间中的对应 点点，可以通过过一条完全包含在群空间内的路径条完全包含在群空间内的路径 连接，则参数空间连通。这样的李群称为简单 李群；反之，混合李群。  混合李群混合李群一般由若干连通区域组成般由若干连通区域组成，，每个连通每个连通 区域称为叶，恒元所在的连通区域对应的群元 素构成李群的不变子群素构成李群的不变子群，其余区域构成相应陪其余区域构成相应陪 集。 O A B A B 李群的整体性质李群的整体性质  连通度：参数空间内，可以连续变化的曲线的 组数组数。 数学数