缺项算子矩阵的补问题.pdfVIP

第 29卷 第 5期 吉首大学学报 (自然科学版) Vo1．29 NO．5 2008年 9月 JournalofJishouUniversity(NaturalScienceEdition) Sept．2008 文章编号 ：1007—2985(2008)05—0019—04 缺项算子矩阵的补问题 任芳国，高荣丽 (陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西 西安 710062) 摘 要：设 和 为复Hiblert空间，给定三元算子对(A，B，c)，其中A ∈毋 )，B∈毋 )，C∈ 对定义在 o ，A C 、 上的算子矩阵Mx (XB)，当x取遍翁()中算子时，给出了所有的预解集p(Mx)之交集的刻画· 关键词：算子矩阵；算子补；预解集；可控算子 中图分类号 ：O177．1 文献标识码 ：A 设 是 2个复Hilbert空间，翊( )为 到 的有界线性算子全体组成的Banach空间，而毋(扔 简记为 国()．取 定三元算子对A(,B,C)，其中A∈四)，B∈毋(。)，c∈毋Of,扔，对缺项算子矩阵(：三)，用表示它的补矩Ax)． 对算子T，分别用 ( ，ID(T)，统( ， 】r)表示算子T的谱、预解集、值域、核；1表示相应 Hilbert空间上的恒等算子． 缺项算子矩阵的补问题在算子理论的研究中有重要意义，算子扩张理论及算子膨胀理论事实上是缺项算子矩阵的补 问题的特殊情况．近年来 ，许多作者对缺项算子矩阵补 问题进行了深入研究口 ]．所谓缺项算子矩阵的补 问题，就是研究缺 项算子矩阵何时具有指定性质的补．杜鸿科等Ⅲ对缺项算子矩阵r‘ l，其中A∈翁()，B∈国()，C∈毋 扔 的谱补 ＼? B ／ 进行了研究．笔者通过构造算子矩阵的方法主要讨论集合 n p( )的情况，推广了文献[1]的部分结果，刻画了 ∈ N p(Mx)的充分必要条件，并且给出在特殊情况下关于 N p(Mx)的几个推论． 2 主要结果 ，A B 、 弓I理 设M (CD)是定义在① 上的有界线性算子·(I)如果A可逆，那么M可逆当且仅当D—c^B-．I 逆 ；(ji)如果 D可逆 ，那么 M 可逆当且仅 当A—BD C可逆 ． 证明 由于 (一I一：)(三)(三一 )=(A。。一0B)， 因此 (i)成立．同理可证 (ii)． 定理 1 设 ，是 2个复 Hilbert空间，A∈鲳 ，B∈翁CZ)，C∈ 国 ，扔 ．如果 C— O，那么 N p(Mx)一p(A) X ∈ ( jr】 。 N 口(B)． 证明 如 果 ∈ ID(A)N ID(B)，即 A — ，B— 都 可 逆 ，那 么 对 任 意 的 x ∈ 国( )，Mx— 的逆 为 ／ (A 一 )一 0 ＼ I一(口一)一x(A—)一 (—)一)’有 ∈∈们DlMx，即p(A)Np(B) ∈ p(Mx)· 如果 ∈ Or, x∈9∞Dl’M()，即对任意的x∈毋(织)，一是可逆的，特别地取x一。，那么、(AnBRo_一】)，可逆，显然 * 收稿 日期 ：2008—03—02 基金项 目：国家 自然科学基金资助项 目；陕西师范大学重点基金资助项 目(995281) 作者简介 ：任芳 国(1969一)男 ，陕西乾县人 ，陕西师范大学数学与信息科学学院副教授 ，博士，主要从事算子论研究． 吉首大学学报(自然科学版) 第 29卷 A—A和B—A可逆 ，有 E