对面积的曲面积分I.ppt

* * 对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与性质 二、对面积的曲面积分的计算方法 具有连续 求质 量 M. 一、对面积的曲面积分的概念与性质 1.引例: 曲面形构件的质量 设曲面形构件占有空间光滑曲面 , 面密度为 解决的方法: (微积分方法) 大化小, 常代变, 近似和, 求极限. 2.定义: 设 ? 为光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 其中 f (x, y, z) 叫做被积 f (x, y, z) 是定义在 ? 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 ? 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ? 上对面积 函数, ? 叫做积分曲面.其中, ? 表示 n 小块曲面的直径 的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 注: 1. 曲面形构件的质量为 3. 积分的存在性: 积的曲面积分存在. 在光滑曲面 ? 上连续, 则对面 4. 封闭曲面积分记号 3.性质: (与对弧长的曲线积分性质类似) (1) 线性性 (2)对积分域的可加性 若 ? 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 则有 (3) 曲面面积 (4) 不等式 (6) 估值 (7) 积分中值定理 (8) 对称性 例如: 二、对面积的曲面积分的计算方法 设有光滑曲面 定理: f (x, y, z) 在 ? 上连续, 则曲面积分 存在, 且有 证明: 由定义知 而 (?光滑) 说明: 可有类似的公式. 1) 如果曲面方程为 2) 若曲面为参数方程, 则只要求出在参数意义下dS 的表达式 , 就可将对面积的曲面积分转化为对参数的 二重积分. 计算曲面积分 其中?是球面 被平面 截出的顶部. 例33.1. 解: 思考: 若 ? 是球面 被平行平面 z =±h 截 出的上下两部分, 则 计算 其中? 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 与 原式 = 分别表示? 在平面 例33.2. 例33.3. 设 计算 解: 锥面 与上半球面 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的 投影域为 则 思考: 若例33.3 中被积函数改为 计算结果如何 ? 求半径为R 的均匀半球壳 ? 的重心. 解: 设 ? 的方程为 利用对称性可知重心的坐标 而 用球坐标 思考题: 例 33.3 是否可用球面坐标计算 ? 例33.4. 计算 解: 取球面坐标系, 则 例33.5. 计算 其中 ? 是球面 利用对称性可知 解: 显然球心为 半径为 利用重心公式 例33.6.