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再证唯一性（用拉格朗日中值定理） 由拉格朗日中值定理 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 由拉格朗日中值定理 则 例10 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 分析 即证 由拉格朗日中值定理即得 例11 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 由拉格朗日中值定理 上式两边取极限，有 说明：左导数由类似的结论 机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、内容小结 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 关键: 利用逆向思维 设辅助函数 费马引理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 费马 (1601 – 1665) 法国数学家, 他是一位律师, 数学 只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博 览群书并善于思考, 在数学上有许多 重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出 的费马大定理: 至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 , 费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的. 拉格朗日 (1736 – 1813) 法国数学家. 他在方程论, 解析函数论, 及数论方面都作出了重要的贡献, 近百 余年来, 数学中的许多成就都直接或间 接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一. 柯西 (1789 – 1857) 法国数学家, 他对数学的贡献主要集中 在微积分学, 《柯 西全集》共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的《分析教程》, 《无穷小分析概论》, 《微积 分在几何上的应用》 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 . 对数学的影 他是经典分析的奠人之一, 他为微积分 所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , * 第三章 微分中值定理 及导数的应用 第三章 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用 第三章 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 一、罗尔定理 第一节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 中值定理 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 注记 最值与极值的区别 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、罗尔(Rolle)定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明： （1）费马定理说明：极值点一定是驻点。 （2）费马定理的逆命题不成立，即驻点不一定是极值点。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 点击图片任意处播放\暂停 物理解释: 变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零. 几何解释: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 矛盾 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 几何解释: 证1 分析: 弦AB方程为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作辅助函数 证明2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 拉格朗日中值定理又称有限增量定理. 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 2. 说明： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论2 推论1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5 证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6 证1 由上式得