高考数学热点讲座恒成立问题常见类型及解法已整理.pptVIP

在高三复习中经常遇到不等式恒成立问题。这类问题求解的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解。解题过程本身渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，另外不等式恒成立问题大多要利用到一次函数、二次函数的图象和性质。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种 类型： （1）一次函数型； （2）二次函数型； （3）变量分离型； （4）利用函数的性质求解； （5）直接根据函数的图象求解； （6）反证法求解。 下面分别举例示之。 讲座4、恒成立问题常见类型及解法 说考点 拓展延伸串知识 解析：x－y＝a2＋3a－5a－15－a2－2a＋4a＋8＝－7＜0， x＜y. 答案：C 5．以下四个不等式a＜0＜b；b＜a＜0；b＜0＜a；0＜b＜a.其中使＜成立的充分条件有____________． 若不等式21对一切都成立，求实数的取值范围。 2．理解不等式的思想和方法 (1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意，要注意强化． (2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算． (3)通过复习要强化不等式“运算”的条件．如a＞b、c＞d在什么条件下才能推出ac＞bd. (4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系. 【解析】令＝（）－2＋1，则上述问题即可转化为关于的一次函数在区间[-2，2]内函数值小于0恒成立的问题。考察区间端点，只要 即的取值范围是（，）. (3)不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c，这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明a＞c，选择中间量b，在证出a＞b，c＞b后，就误认为能得到a＞c. (4)同向不等式可相加，但不能相减，即由a＞b，c＞d，可以得出a＋c＞b＋d，但不能得a－c＞b－d. 考点自测1.x＝(a＋3)(a－5)与y＝(a＋2)(a－4)的大小关系是(　　) A．x＞y　B．x＝y C．x＜y D．不能确定 【理论阐释】 给定一次函数(≠0),若在[m,n]内恒有0， 则根据函数的图象（线段）可得 ①或②，也可合并成， 同理，若在内恒有，则有. n m o x y n m o x y 解析：一方面，若0＜ab＜1，则当a＜0时，0＞b＞，b＜不成立；另一方面，若b＜，则当a＜0时，ab＞1，0＜ab＜1不成立，故选D. 答案：D 疑点清源 1.在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点 (1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数a、b有a－b＞0a＞b，a－b＝0a＝b，a－b＜0a＜b，这是比较两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基石． (2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活、准确地加以应用． 解析：＜＜0b－a与ab异号，因此、、能使b－a与ab异号． 答案： 2．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【理论阐释】 若二次函数的函数值大于（或小于）0恒成立，则有（或），若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及二次函数的图象求解。 关于x的方程9x+(4+)3x+4=0恒有解，求的取值范围。 解析：设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则 即 题型探究题型一用不等式表示不等关系例某汽车公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车．根据需要，A型汽车至少买5辆、B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式． 解析：－＝＞0，成立． －＝＞0，ab＞0， bc－ad＞0成立． bc－ad＞0，－＝＞0， ab＞0成立． 答案：D 4．给出如下四个命题： 若ab，cd，e0，则d－aec－be； 若ab，c0，dR，则(a－d)c(b－d)c； 若ab0，cd0，则acbd； 若ab0，cd0，eR，则. 其中真命题是__________． 3．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： 若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0； 若ab＞0，－＞0，则bc－ad＞0； 若bc－ad＞0，－＞0，则ab＞0. 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】方法1（利用韦达定理） 设3x=t,则t0.那么原方程有解即方程t2+(4+)t+4=0有正根。 ，即， ，解得-8. 若不等式对于任意∈都成立，求的取值范围. 解析：ab，dR?a－db－d. 又c0，所以(a－d)c(b－d)c. 答案： 方法2（利用根与系数的分布知识） 即要求t2+(4+)t+4=0有