关于圆锥曲线的切线的一个性质.docVIP

关于圆锥曲线的切线的一个性质 ———— 一道高考题的思考 湖北房县第二中学 任传奎 442100 在教学过程中，我们常常在大脑中会“闪现”一些与课堂内容相关的“奇怪”感觉，这些感觉可能是与其它知识有联系的，也有可能是所授知识的“衍生”或拓展，而其中的一部分很有可能对学生的知识理解和拓展会有一定的影响，同时，学生在参与课堂学习时同样有与教师类似的一些想法，我们在实施教学时是否可以适时引导、激励学生去思考，去探究呢？我认为很有必要。 我们先看一道高考题： (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p0)上． (1)求抛物线E的方程； (2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点． (1)依题意，|OB|＝8，BOy＝30°. 设B(x，y)，则x＝|OB|sin 30°＝4，y＝|OB|cos 30°＝12. 因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2. 故抛物线E的方程为x2＝4y. (2)证明：由(1)知y＝x2，y′＝x. 设P(x0，y0)，则x0≠0，y0＝x，且l的方程为 y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x. 由得 所以Q为. 设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立． 由于＝(x0，y0－y1)，＝， 由·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0， 即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0.(*) 由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立， 所以解得y1＝1. 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)． 是抛物线的准线，M(0,1)是抛物线的焦点，因此我们可以猜想下面的命题1： 命题1 点M为抛物线上的一点，过点M与抛物线相切的直线交抛物线的准线与点N，则以MN为直径的圆过焦点F。 证明：设切线方程为，联立 消去得：， 由得 ∴，= ∴ 又∵， ∴= ∴ 于是 ==0 ∴， ∴以MN为直径的圆过焦点F。 ∴猜想成立 进一步探究：我们可以进一步猜想下面的命题2，命题3： 命题2 点M是椭圆上的一点，过点M的切线交右准线于点N，则以MN为直径的圆过椭圆的右焦点F。 证明：设切线方程为，联立： 消去得： 由=得： ∴， ∴ 又，， ∴， 于是 ∴， ∴以MN为直径的圆过椭圆的右焦点F。 命题3 点M是双曲线上的一点，过点M的切线交右准线于点N，则以MN为直径的圆过双曲线的右焦点F。 证明：设切线方程为，联立： 消去得：， 由= 得： ∴， ， ∴ 又 ∴ 于是 ∴ ∴， ∴以MN为直径的圆过双曲线的右焦点F。 综合命题1、命题2、命题3得：过圆锥曲线上的一点M的切线交准线于点N，则以MN为直径的圆过相应的焦点。 我们所面对的学生从启蒙开始在大脑都会时不时地会出现“奇思妙想”，只不过我们无法及时发现和灵活应用，从而忽略或抑制了学生的创新与想象，违背了“以问题和问题的解决为中心”的理念，挫伤了学生的积极性，失去了培养学生创新性解决问题的机会。因此教师首先应该具有“发现——探究——再发现——再探究”的意识。 2013年11月20日