第课振动.doc

第4章 振动 4.1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求： （1）此简谐振动的表达式； （2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度； （3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间． 解：（1）设物体的简谐振动方程为x = Acos(ωt + φ)，其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π． 当t = 0时，x = 0.06m，所以cosφ = 0.5，因此φ = ±π/3．物体的速度为v = dx/dt = -ωAsin(ωt + φ)．当t = 0时，v = -ωAsinφ，由于v 0，所以sinφ 0，因此φ = -π/3． 简谐振动的表达式为 x = 0.12cos(πt – π/3)． （2）当t = T/4时物体的 位置为x = 0.12cos(π/2 – π/3) = 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为v = -πAsin(π/2 – π/3) = -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)． 加速度为a = dv/dt = -ω2Acos(ωt + φ)= -π2Acos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)． （3）方法一：求时间差．当x = -0.06m时，可得cos(πt1 - π/3) = -0.5，因此πt1 - π/3 = ±2π/3． 由于物体向x轴负方向运动，即v 0，所以sin(πt1 - π/3) 0，因此πt1 - π/3 = 2π/3，得t1 = 1s． 当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v 0，因此cos(πt2 - π/3) = 0，可得πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t2 0，所以πt2 - π/3 = 3π/2，可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)． 所需要的时间为Δt = t2 - t1 = 0.83(s)． 方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v 0，因此cos(πt - π/3) = 0，可得 πt - π/3 = π/2，解得 t = 5/6 = 0.83(s)． 4.2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求： （1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T； （2）振动表达式； （3）画出旋转矢量图． 解：方法一：由位相求时间． （1）设曲线方程为x = AcosΦ，其中A表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位． 由于xa = A，所以cosΦa = 1，因此 Φa = 0． 由于xb = A/2，所以cosΦb = 0.5，因此Φb = ±π/3； 由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此Φb = π/3． 由于xc = 0，所以cosΦc = 0，又由于c点位相大于b位相，因此Φc = π/2． 同理可得其他两点位相为Φd = 2π/3，Φe = π． c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为ta = T/6． 到达b点的时刻为tb = 2ta = T/3．到达c点的时刻为tc = ta + T/4 = 5T/12．到达d点的时刻为td = tc + T/12 = T/2．到达e点的时刻为te = ta + T/2 = 2T/3． （2）设振动表达式为x = Acos(ωt + φ)，当t = 0时，x = A/2时，所以cosφ = 0.5，φ = ±π/3；由于零时刻的位相小于a点的位相，所以φ = -π/3， 因此振动表达式为 ． 另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程． （3）如图旋转矢量图所示． 方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴相交于f点，由于xf = 0，根据运动方程，可得 所以． 显然f点的速度大于零，所以取负值，解得tf = -T/12． 从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a点的时刻为 ta = T/4 + tf = T/6，其位相为． 由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相． 4.3如图所示，质量为10g的子弹以速度v = 103m·s-1水平射入木块，并陷入木块