概率论第09讲.pptVIP

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概率论第09讲

函数与极限 第 3 章 随机向量及其独立性 例4 3.二维随机向量的边缘分布函数 二、相互独立的随机变量 例4(续) 同理 X 与 Y 相互独立. 联合分布和边缘分布的关系 定理1.1 § 3.2 离散型随机向量及其分布 联合分布律的性质 二、离散型随机变量的独立性 三、n维离散型随机向量 作业 ( X, Y ) 所取的可能值是 解 抽取两支都是绿笔 抽取一支绿笔,一支红笔 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色 圆珠笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别 表示抽出的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的联合分 布律. 例1 3蓝、2红、3绿 3支蓝色、2支红色、3支绿色笔,随机抽 取两支, X、Y 分别表示抽出的蓝笔数和红笔数. 解 3蓝、2红、3绿 3蓝、2红、3绿 故所求分布律为 二维离散型随机向量的联合分布律全面地反映了向量(X,Y)的取值及其概率规律. 那么要问:二者之间有什么关系呢? 而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布. 已知随机向量 ( X,Y ) 的联合分布如如下, 求其边缘分布. 例2 注意 联合分布 边缘分布 解 解 例3 由乘法公式得 解 下面求边缘分布 定理2.1 两个离散型随机变量相互独立时,它们的联合分布律等于两个边缘分布律的乘积 . 例3(续) 判断X,Y是否相互独立? X与Y不相互独立. 因为 X 与 Y 相互独立, 解 所以 求随机变量 ( X, Y ) 的分布律. 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为 例4 一般地,如果X1, X2, …, Xn 都是离散型随机变量,就称X = (X1, X2, …, Xn) 是n维离散型随机向量. 如果X所有可能不相同的取值是 (x(j1 ), x(j2 ), …, x(jn )), j1 , j2 , …,jn =1,2,…. 则称 p( j1 , j2 , …,jn ) =P (X1 =x(j1 ), X2 = x(j2 ), …, Xn = x(jn )) 是X的联合概率分布. * 一维随机变量及其分布 n 维随机变量及其分布 到现在为止,我们只讨论了一维随机变量 及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够,而需要用几个随机变量来描述. § 3.1 随机向量及其联合分布 为了研究某一地区 6 岁儿童的发育状况,对这一地区的儿童进行抽查. 对这一地区的每一个6 岁儿童都能观测到他的身高H和体重W,身高H和体重W 都是随机变量, 则 (H, W )是二维随机向量. 实例1 炮弹落点位置由它的横坐标X和纵坐标Y来确定. 实例2 X,Y 都是随机变量,则称(X,Y )是二维随机向量. 在平面坐标系中,一门大炮向目标发射一发炮弹. 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. 一般地, 若X1, X2, …,Xn都是随机变量,则称 X = (X1, X2, …,Xn) 为n维随机向量,简称随机向量. 一、二维随机向量及其联合概率分布函数 对于随机向量(X,Y),称 为(X,Y)的联合概率分布函数,简称联合分布. 2. 分布函数的性质 且 (3) 对于x 和y,F(x, y)都是右连续的,即对任意的实数x0和y0,均有 可以用分布函数计算某些事件的概率. 一电子元件由两个部件构成,以X,Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时). 已知 X 和 Y 的联合分布函数为 求两个部件的寿命都超过100小时的概率. 解 则称随机变量X,Y独立. 如果对任何实数 x, y, 定义1.1 随机变量X,Y独立 的充分必要条件是对任何实数x,y, 或等价地 一电子元件由两个部件构成,以X,Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时). 已知X和Y的联合分布函数为 判断X与Y是否独立? 解 所以 X 与 Y 相互独立. 若再求两个部件的寿命都超过100小时的概率,则 由联合分布可以确定边缘分布; 但由边缘分布一般不能确定联合分布. 两个随机变量相互独立时,它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积. 在两个随机变量相互独立的情况下,由边缘分布可以唯一确定联合分布. 下面将两个随机变量相互独立的定义推广到多个随机变量的情况. 定义1.2 此时称{Xj}是独立序列. 容易理解, 它们相互独立 . 常数与任何随机变量相互独立. 相互独立. 相互独立. 相互独立. 三、 n 维随机向量 为 X = (X1, X2, …, Xn )

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