第八几何中的计数问题二.docVIP

第八讲 几何中的计数问题（二） 　　我们在已经学会数线段、数角、数三角形的基础上，通过本讲学习数长方形，正方形及数综合图形来进一步提高观察和思考问题的能力，学会在观察、思考、分析中总结归纳出解决问题的规律和方法. 　　一、数长方形 　　例1如下图，数一数下列各图中长方形的个数？ 　　 　　分析图（Ⅰ）中长方形的个数与AB边上所分成的线段的条数有关，每一条线段对应一个长方形，所以长方形的个数等于AB边上线段的条数，即长方形个数为： 　　4+3+2+1=10（个）. 　　图（Ⅱ）中AB边上共有线段4+3+2+1=10条. BC边上共有线段：2+1=3（条），把AB上的每一条线段作为长，BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以图（Ⅱ）中共有长方形为： 　　（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）. 　　图（Ⅲ）中，依据计算图（Ⅱ）中长方形个数的方法：可得长方形个数为：（4+3+2+1）×（3+2+1）=60（个）. 　　解：图（Ⅰ）中长方形个数为4+3+2+1=10（个）. 　　图（Ⅱ）中长方形个数为： 　　（4+3+2+1）×（2+1）=10×3=30（个）. 　　图（Ⅲ）中长方形个数为： 　　（4+3+2+1）×（3+2+1）=10×6=60（个）. 　　小结：一般情况下，如果有类似图Ⅲ的任一个长方形一边上有n-1个分点（不包括这条边的两个端点），另一边上有m-1个分点（不包括这条边上的两个端点），通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为： 　　（1+2+3+…+m）×（1+2+3+…+n）. 例2 如右图数一数图中长方形的个数. 　　解：AB边上分成的线段有： 　　5+4+3+2+1=15. 　　BC边上分成的线段有： 　　3+2+1=6. 　　所以共有长方形： 　　（5+4+3+2+1）×（3+2+1）=15×6=90（个）. 二、数正方形 例3 数一数下页各个图中所有正方形的个数.（每个小方格为边长为1的正方形） 　　分析 图Ⅰ中，边长为1个长度单位的正方形有： 　　2×2=4（个），边长为2个长度单位的正方形有： 　　1×1=1（个）. 　　所以，正方形总数为1×1+2×2=1+4=5（个）. 　　图Ⅱ中，边长为1个长度单位的正方形有3×3=9（个）； 　　边长为2个长度单位的正方形有：2×2=4（个）； 　　边长为3个长度单位的正方形有1×1=1（个）. 　　所以，正方形的总数为：1×1+2×2+3×3=14（个）. 　　图Ⅲ中，边长为1个长度单位的正方形有： 　　4×4=16（个）； 　　边长为2个长度单位的正方形有：3×3=9（个）； 　　边长为3个长度单位的正方形有：2×2=4（个）； 　　边长为4个长度单位的正方形有：1×1=1（个）； 　　所以，正方形的总数为： 　　1×1+2×2+3×3+4×4=30（个）. 　　图Ⅳ中，边长为1个长度单位的正方形有： 　　5×5=25（个）； 　　边长为2个长度单位的正方形有：4×4=16（个）； 　　边长为3个长度单位的正方形有：3×3=9（个）； 　　边长为4个长度单位的正方形有：2×2=4（个）； 　　边长为5个长度单位的正方形有：1×1=1（个）. 　　所有正方形个数为： 　　1×1+2×2+3×3+4×4+5×5=55（个）. 　　小结：一般地，如果类似图Ⅳ中，一个大正方形的边长是n个长度单位，那么其中边长为1个长度单位的正方形个数有：n×n=n2（个），边长为2个长度单位的正方形个数有：（n-1）×（n-1）=（n-1）2（个）…；边长为（n-1）个长度单位的正方形个数有：2×2=22（个），边长为n个长度单位的正方形个数有：1×1=1（个）.所以，这个大正方形内所有正方形总数为：12+22+32+…+n2（个）. 例4 如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）. 　　分析 为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形. 　　①以一条基本线段为边的正方形个数共有： 　　 6×5=30（个）. 　　②以二条基本线段为边的正方形个数共有： 　　 5×4=20（个）. 　　③以三条基本线段为边的正方形个数共有： 　　 4×3=12（个）. 　　④以四条基本线段为边的正方形个数共有： 　　 3×2=6（个）. 　　⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有： 　　 2×1=2（个）. 　　所以，正方形总数为： 　　 6×5+5×4+4×3+3×2+2×1 　　=30+20+12+6+2=70（个）. 　　小结：一般情况下，若一长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么