lt99322 线性规划.docVIP

2-2線性規劃 生活中的很多問題都可以表示成數學上的二元一次聯立不等式﹐而符合聯立不等式條件的解往往不只一組﹐如何用數學的理論﹐找出最佳的解決方法是我們感興趣的課題﹒解決此類問題的方法稱為線性規劃﹐是20世紀中葉非常實用的科學方法﹐也是我們這一節的學習要點﹒ 甲、二元一次不等式 當常數a﹐b不全為0時﹐不等式﹐﹐﹐稱為二元一次不等式﹐滿足不等式的實數數對稱為它的解﹒我們知道二元一次方程式的圖形為一直線﹐那麼二元一次不等式在坐標平面上的圖形是什麼呢？以為例﹐討論它的所有解所形成的圖形設的圖形為直線L﹐則L將坐標平面上L以外的部分分成A﹐B兩個半平面如圖所示﹒ 設是半平面A內的任一點﹐過P點作x軸的垂線與L交於一點Q﹐則Q點的坐標為﹐如圖所示﹒ 因為P點在Q點的上方﹐所以 ﹐即 ﹐因此A內的每一個點都滿足 ﹒反﹐是的一個解﹐即﹐﹒ 因為點在直線L上﹐所以P點在Q點的上方﹐即P點落在半平面A內﹒由上面的討論知道：的所有解所成的圖形就是半平面A同理可知的所有解所成的圖形就是半平面BA與直線L就代表的所有解所成的圖形的所有解所形成的圖形B與直線L如圖所示 ▲圖仿照前面的討論方式﹐我們可以得到：直線將坐標平面上L以外的區域分成兩個半平面一個為的所有解所成的圖形﹒有了這個結論﹐我們可以用下面的方法圖解二元一次不等式﹒ 【例題1】圖示二元一次不等式的解因為不等式沒有等號﹐所以我們將直線以虛線表示﹒此時L將坐標平面上L以外的區域分成兩個半平面﹐其中一個半平面包含原點﹒代入得﹐不等式的解就是所在的半平面。如下圖所示： 【隨堂練習1】圖示二元一次不等式的解 Ans：見詳解 【詳解】先畫出直線﹐此時將坐標平面上以外的區域分成兩個半平面﹐其中一個半平面包含原點﹒因為將代入得﹐故不等式的解就是不含的半平面與直線﹒如下圖所示﹒ 如果我們將幾個二元一次不等式聯立起來﹐那麼其解所形成的圖形就是指這些二元一次不等式解區域的共同部分（交集）﹒以下我們練習圖解二元一次聯立不等式﹒ 【例題2】圖二元一次聯立不等式(1) 作直線:﹐不等式的圖形是包含原點的半平面及直線﹒ (2) 作直線:﹐不等式的圖形是不包含原點的半平面及直線﹒(3) 上述兩個解區域的共同部分﹐即為聯立不等式的解﹐如下圖所示﹒圖解二元一次聯立不等式 【詳解】 (1) 圖解﹕先畫出直線﹐因為﹐所以的解區域即為所在的半平面與﹒ (2) 圖解﹕先畫出直線﹐因為﹐所以不為的解﹐即的解區域為不包含的半平面與﹒ 的解﹐如下圖所示﹒ 【例題3】圖二元一次聯立不等式首先分別圖解各不等式如下：因為這些不等式均不含等號所以其均不含圖解時用線表示(1) (2) (3) 上列三個不等式解 【隨堂練習3】圖解二元一次聯立不等式 【詳解】因為這些不等式均不含等號﹐所以其解區域均不含邊界﹐圖解時邊界用虛線表示﹒將上列三個不等式解區域的共同部分列出﹐即為聯立不等式的圖解﹐如下圖所示﹒ 在坐標平面上的x坐標與y就是一個格子點﹒ 【例題4】圖解二元一次聯立不等式將題目中的二元一次聯立不等式 由圖可知：聯立不等式的解滿足﹐又 當時﹐解區域內有﹐﹐﹐﹐共5個格子點時﹐解區域內有﹐﹐﹐共個格子點時﹐解區域內有﹐﹐共個格子點時﹐解區域內有1個格子點﹒ 綜合(1)(2)(3)(4)總共有個格子點﹒ 【隨堂練習5】圖解二元一次聯立不等式並求在此解區域內有多少個格子點﹒ Ans：5 【詳解】圖解二元一次聯立不等式﹒ 由圖可知﹕ (1) 當時﹐解區域內有﹐共2個格子點﹒ (2) 當時﹐解區域內有﹐共2個格子點﹒ (3) 當時﹐解區域內有1個格子點﹒ (4) 當時﹐解區域內沒有格子點﹒ (1)(2)(3)(4)得共有5個格子點 乙、最佳值 如果是二元一次聯立不等式的一個解那麼的最為何呢？的最小值首先將聯立不等式的解圖示在坐標平面上如圖所示的變動情形﹒如圖6所示﹐當﹐3﹐6時﹐它們都是斜率為且互相平行的直線﹐又以為例﹐這條直線在解區域內的點（圖6中實線部分）都滿足聯立不等式﹐且其值都是6﹒ 由於與x軸的交點為﹐當直線從向右上方平行移動時﹐的k值會逐漸增加﹐故當直線最先通過解區域中的點時﹐會得到最小的k值（如圖7）﹒此時直線為﹐所以有最小值4﹒ 由上面的討論知道﹐當xy滿足某個二元一次聯立不等式時直線的最值最值已知x﹐y滿足聯立不等式 ﹐求的最小值﹒ Ans：5 先將聯立不等式的解圖示在坐標平面上﹐而後畫出通過原點的直線﹐將其平行移動至與解區域相交﹐如右圖所示﹒我們發現：當直線向右上方平行移動時﹐最先通過解區域中的點﹐此時﹒根據平行線法可知：當時﹐有最小值5﹒ 【隨堂練習5】已知x﹐y滿足聯立不等式求的最大值先將聯立不