空间闭曲线积分的计算公式及其应用.pdfVIP

Vol . 11 ,No . 2 高等数学研究 Mar . , 2008 　 　　　　　 　　 STUD IES IN COLL E GE MA T H EMA TICS 27 空间闭曲线积分的计算公式及其应用 张曙光1 , 2 　叶留青2 ( 1 河南师范大学数学系 河南焦作 453000 ; 　2 焦作师范高等专科学校数学系 河南焦作 454000) 摘 要 　公式建立了空间闭曲线上的曲线积分与二重积分之间的关系, 应用起来简捷方便, 格林公式是 该公 式的特殊形式 关键词 　空间曲线积分; 二重积分; Stokes 公式; 格林公式 　中图分类号 　　O 172. 2 空间闭曲线上的曲线积分计算一般比较复杂[ 1] , 下面介绍一个将空间闭曲线上的曲线积分转 化为二重积分的简单计算公式, 应用起来简捷方便 1 引理 [ 1] ( ) 1 1 　引理 1 Sto ke s 公式 Γ Γ Γ 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的 正向与 的侧 符合右手规则, 函数 P ( x , y , z) , Q ( x , y , z) , R ( x , y , z) 在包含曲面 在内的一 个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有 ( ) ( ) ( ) P d x + Qdy + R dz = R ′- Q′ dy dz + P′- R ′ dz d x + Q′- P′ d x dy ∮ y z z x x y Γ [ 2] ( ) 12 　引理 2 合一投影公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x , y , z dy dz + Q x , y , z dz d x + R x , y , z d x dy = ± [ P ·- z x + Q ·- z y + R] d x dy D xy ( ) ( ) ( ) 其中 的方程为 z = z x , y , x , y ∈D xy D xy 是 在 x oy 面上