与轴对称相关的线段之和最短问题(初二版).doc

与轴对称相关的线段之和最短问题 一．问题的引入： 在学习了作轴对称图形之后，有这样一个问题 在这个问题中，利用轴对称，将折线转化为直线，再根据“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，等相关的知识，得到最短线段，这一类问题也是当今中考的热点题型。通常会以：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为载体。本文试图对这一类问题进行分类，在每一类中有若干题型，且给出了基本的解答。若掌握了下面列举的题型，让学生能够明白与轴对称相关的线段之和最短问题在这些载体中的表现形式，则能收到举一反三，事倍功半的效果。 二．数学模型： 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小 4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 为方便归类，将这种情况称为“两点之间线段最短型” 三.两边之和大于第三边型 (一)直线类 1．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 2．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x. (1)用含x的代数式表示AC＋CE的长； (2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小? (3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式+错误！未定义书签。的最小值 3．求代数式（0≤x≤4）(二)角类 4．两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.?解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P、P，连结PP2分别交OA、OB于C、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点， 则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短. (三)三角形类 6．如图，等腰ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为 BE = PB+PE = PB+PEBE的长就是PB+PE的最小值 7．如图，在ABC中，AC＝BC＝2，ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。 8．等腰△ABC中，∠A = 20°，AB = AC = 20，M、N分别是AB、AC上的点，求BN+MN+MC的最小值 分别作点C、B关于AB、AC的对称点C’、B’，连接C’B’交AB、AC于点M、N，则BN+MN+MC = B’N+MN+MC’ = B’C’， BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值 ∵∠BAC’ = ∠BAC，∠CAB’ = ∠CAB∴∠B’AC’ = 60° ∵AC’ = AC，AB’ = AB，AC = AB ∴AC’ = AB’ ∴△AB’C’是等边三角形 ∴B’C’ = 20 9．如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC，E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2，求EM+EC的最小值 因为点C关于直线AD的对称点是点B，所以连接BE，交AD于点M，则ME+MD最小， 过点B作BH⊥AC于点H， 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = = = 3 在直角△BHE中，BE = = = 2 (四)正方形类 10．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。 即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小故作点D关于AC的对称点B，连接BM， 交AC于点N。则DN＋ＭＮ＝BN＋ＭＮ＝ＢＭ线段ＢＭ的长就是DN＋ＭＮ的最小值 在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８，则ＢＭ＝１０故DN＋ＭＮ的最小值是１０ 11．如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（） A． B． C．3D． 则BE = PB+PE = PD+PE，BE的长就是PD+PE的最小值BE = AB = 2 12．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为_____