一元函数与多元函数的微积分定理之差异.pdf

一元函数与多元函数的微积分定理之差异 第 组 前言 从函数角度而言，多元函数微积分学是有多个因变量的函数的微积分，它的最简形式就 是只有一个因变量的函数的微积分学，即一元函数微积分。从几何角度而言，多元微积分是 在多维空间上针对曲线、平面或者多维图形进行微分或者积分，最终计算都是把它投影到相 应的平面上进行一元微积分。由此可知，多元函数微积分学是建立在一元函数微积分学上。 因此，一元函数微积分学中的大部分定理都可以推广到多元函数微积分学上。但是，值得注 意的是，并非所有定理都可以被应用于多元函数微积分学。本文就以在二元函数中举例的形 式，来讨论一些在一元函数和多元函数中存在差异的定理性质。 1.微分学定理之差异 1.1 连续与可导 在一元函数 中，可导必定连续，但连续不一定可导.那么，类比可知：二元函数 f(x,y)在 一点(x0,y0)对两个自变量的偏导数存在 f(x,y)在该点连续。 但事实上，该命题不成立。 （1）对二元函数f(x,y)在一点(x0,y0)对两个自变量的偏导数存在 f(x,y)在该点连续： xy , (x, y) ≠ (0,0) ( ) x2 +y2 f x, y = { 0, (x, y) = (0,0) 在(0,0)处两个偏导数均存在： ( ) fx ′ (0,0) = lim f x,0 −f(0,0) = lim 0 = 0，同理可得fy ′ (0,0) = 0，故两个偏导数均存在 x→0 x x→0 x ∆x∆y ∆x∆y ( ) 而lim 2 2不存在，即lim 2 2 ≠ 0，故f x, y 在点(0,0)处并不连续。 ∆x→0 ∆x +∆y ∆x→0 ∆x +∆y ∆y→0 ∆y→0 因此二元函数f(x,y)在一点(x0,y0)对两个自变量的偏导数存在 不能推出f(x,y)在该点连续 （2 ）对二元函数f(x,y)在一点(x0,y0)对两个自变量的偏导数存在 f(x,y)在该点连续： 考察函数 1 ( ) ( ) ( ) + sin ，, ≠ 0,0 (, ) = { + ( ) ( ) 0 ，, = 0,0 1 1 lim (, ) = lim ( + ) sin ，其中sin 是有界的，则该极限存在. →0,→0 →0,→0 + + ( ) ( ) ( ) lim , = 0,0 . 函数在 0,0 处连续. →0,→0 1 ∂ ∆ sin ∆ − 0