范例5以隐微分求图形的斜率.PPT

範例 5　以隱微分求圖形的斜率 （解） 如圖 3.36 所示，此圖形稱為雙曲線 (hyperbola)。 P.3-64 圖3.36 第三章　微分 檢查站 5 求 x2 － 9y2 ＝ 16 的圖形在點(5, 1) 的斜率。 P.3-63 第三章　微分 應用　範例 6　使用需求函數 某產品的需求函數以 做為模型，其中 p 為價格 (美元)，x 為數量 (千單位)，如圖 3.37 所示。求當 x ＝ 100 時，需求 x 對價格 p 的變化率。 P.3-64 第三章　微分 範例 6　使用需求函數 P.3-64 圖3.37 第三章　微分 範例 6　使用需求函數 （解） 為了化簡微分的運算，先改寫函數，然後對 p 微分。 P.3-64 第三章　微分 範例 6　使用需求函數 （解） 當 x ＝ 100 時，價格是 所以當 x ＝ 100 以及 p ＝ 1 時，需求對價格的變化率是 這意味著當 x ＝ 100 時，價格每調高 1 美元，需求就下降 75 千單位。 P.3-64 第三章　微分 檢查站 6 某產品的需求函數為 以隱微分求 dx/dp。 P.3-64 第三章　微分 總結（3.7節） 說明如何使用隱微分，參考範例 2、3、4 和 5。 一個如何用隱微分分析產品需求變化率的實例 (範例 6)。 P.3-64 第三章　微分 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 歐亞書局 微積分[第九版] 隱微分 3.7 3.7 隱微分 學習目標 以公式求導數。 以隱含函數求導數。 用導數求解現實生活問題。 P.3-60 第三章　微分 明確和隱含的函數 本書到目前為止，兩個變數的函數都是表示成明確型 (explicit form) y ＝ f(x)，也就是其中一個變數明確地依另一個來給定。例如，在方程式 y ＝ 3x － 5 明確型 中，變數 y 明確地寫成 x 的函數。然而，有些函數並非明確地定義，而僅是用一個方程式來隱含，如範例 1 所示。 P.3-60 第三章　微分 範例 1　明確地求導數 對方程式 xy ＝ 1 求 dy/dx 。 P.3-60 第三章　微分 範例 1　明確地求導數 （解） 在這個方程式，y 可隱含地 (implicitly) 定義成 x 的函數。求 dy/dx 的一種方法就是先對方程式解出 y，然後像往常一樣微分。 P.3-60 第三章　微分 檢查站 1 對方程式 x2y ＝ 1 求 dy/dx。 P.3-60 第三章　微分 明確和隱含的函數 只要能容易明確地寫出給定的函數，範例 1 的方法是很有用的，但若是不能解出 y 為 x 的函數時就不管用。例如，對方程式 x2 － 2y3 ＋ 4y ＝ 2　與　 x2 ＋ 2xy3－ y3 ＝ 5 　求 dy/dx 時，因為很難明確地將 y 表為 x 的函數，此時如何求 dy/dx？處理這個問題可用稱為隱微分 (implicit differentiation) 的技巧。 P.3-60 第三章　微分 隱微分 要了解如何隱含地求 dy/dx，必須了解微分是對 x 來運算。所以當微分只有含 x 的項時，就可以像往常一樣地微分。但是微分含 y 的項時就必須用到連鎖律，因為我們假設 y 被隱含地定義為 x 的可微函數。仔細研讀下一個範例，尤其是在範例 2(b) 和 2(d) 中用連鎖律導出 dy/dx 的技巧。 P.3-61 第三章　微分 範例 2　應用連鎖律 將以下式子對 x 微分。 a. 3x2 b. 2y3 c. x + 3y d. xy2 P.3-61 第三章　微分 範例 2　應用連鎖律 （解） a. 在這個式子唯一的變數是 x，所以只要使用基本乘冪律以及常數倍數律對 x 微分，就可得 P.3-61 第三章　微分 範例 2　應用連鎖律 （解） b. 這個問題不一樣，因為式子的變數是 y，但要對 x 微分，所以必須假設 y 是 x 的可微函數再使用連鎖律。 P.3-61 第三章　微分 範例 2　應用連鎖律 （解） c. 這個式子包含 x 和 y，由和律和常數倍數律，可得 P.3-61 第三章　微分 範例 2　應用連鎖律 （解） d. 由乘積律和連鎖律，得到 P.3-61 第三章　微分 檢查站 2 將以下式子對 x 微分。 a. 4x3 　b. 3y2 　c. x ＋ 5y 　d. xy3 P.3-61 第三章　微分 隱微分 在範例 3 中，注意由隱微分得到的 dy/dx 可能包含 x 和 y 。 P.3-62 第三章　微分 範例 3　使用隱微分 對方程式 y3 ＋ y2 － 5y － x2＝ －4 ，求 dy/dx。 P.3-62 第三章　微分 1.等號兩邊分別對 x 微分。 2.