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孪生素数及素数分布的思考 　　摘 要 本文通过一种全新的思路，利用不能用“素数和”与“素数因子乘积”表示的整数即为素数的两种思路，将整数以双素数和与素数因子乘积的形式分别列入一个分布阵列表中，并通过观察发现素数及孪生素数的某些规律，并结合这些规律将孪生素数猜想的形式转变为“除了第一个整数所在的行，其他行必须有第2列，且有无穷多个整数在第2列换行”与“已知小素数乘积不能表示的整数即为素数”两种新形式。再结合素数性质分步证明孪生素?挡孪搿Ｗ詈蠼岷细帽硖岢隽肆街中碌难罢乙阎?素数后下一个素数的方法。 　　关键词 素数 孪生素数 哥德巴赫猜想 数论 数学 　　中图分类号：O413 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2017）07-0001-03 　　素数是指除了1和它本身以外不会被其他任何整数整除（正因数只有1和其本身）的自然数。很明显，除了2都是奇数。“孪生素数”则是指两个相差为2的素数，例如3和5，5和7，2003663613195000-1和2003663613195000+1等。古希腊数学家欧几里得认为存在无穷多对相差2的素数，这就是孪生素数猜想（及存在无穷多素数P，使得P+2为素数）。与哥德巴赫猜想一样，未被公开证明。其弱形式是“对任何一个正数，有无穷多对素数之差小于这个给定的正数”，这个弱形式就如同哥德巴赫猜想中的“9+9”到“1+1”一样重要。但证明过程一波三折，至今未能将这个正数证明到2。本文主要介绍了一种证明思路，或许不尽正确，但也不失为另辟蹊径的一道良方。 　　一、孪生素数的产生与进展 　　对于孪生素数的弱形式（波利尼亚克猜想），1966年陈景润利用筛法证明了存在无穷多个素数p，使得p+2要么是素数，要么是两个素数的乘积。虽然开了一个头，但后来很长一段时间没人超越，这与证明方法有关。直到2013年张益唐取得的突破性进展，他在不依赖未经证明推论的前提下证明存在无穷多个之差小于7000万的素数对，这虽然与2相差甚远，但相比与正无穷的距离来说已经是微不足道的了。这是人类在证明孪生素数猜想上打开的第一扇窗户，随后在1个月内这个距离被不断刷新为6000万，4200万，1300万，500万，40万……到2014年2月该距离被缩短到了246。虽说距离2已是近在咫尺，可似乎却愈发觉得遥不可及。难道该方法如同筛法，也是双刃剑，在取得可喜进展的同时也埋下了不可跨越的鸿沟？为此作者通过研究孪生素数的规律，另辟蹊径，希望对该猜想的最终证明有所启示。 　　二、绕开陷阱，另辟蹊径 　　1.偶素的素数加和性质 　　为寻找良方证明孪生素数猜想，必须发现素数的一些未被发现或被人忽视的规律。为便于研究，绘制表1的素数表，每一行为一组质数，每列为连续偶数的素数加和式。为便于理解，该表引入了半数偏差概念（小的为负偏差，大的为正偏差），其偏差值N在数值上等于两个质数距离的一半。 　　仔细观察，不难发现：（1）孪生素数出现的频率（即行距）逐渐变大；（2）半数偏差为1的即为孪生素数；（3）孪生素数都分布在第2列；（4）孪生素数出现后必换行（因为素数乘以2为偶数，这是分组的条件，所以自然必须换行）；（5）每一行的列数可以有很多但不是无穷的（因为素数的个数是无限的，就是说表中有无限行，也就是说每一行的列数可以很多很多，但不能是无穷多，如果存在一行有无穷多就无法换行了，及行数有限，这与素数无穷多矛盾）；（6）除了第一个素数2所在的列，其它所有行都至少有第2列（如果某一行没有第2列，则下一行首位素数与本行首位素数间的整数不能用两个素数之和表示，这与哥德巴赫定理矛盾-由于除了2任意两个素数加和是不等的，且都是偶数。所以当第x个素数N前的素数可以表示N内所有偶数时，第x+1个素数到第x个素数间的偶数必能被全部素数两两加和表示，不然第x个素数之前存在不能被全部表示的区间，一直往下推，可推出31以内、5以内素数不能全部表示其内部的偶数，这与事实矛盾。所以任何素数区间内的偶数可由区间内的素数两两加和表示，及哥德巴赫猜想得证）；由此可证明孪生素数猜想可以依据表而转化为证明“除了第一个整数所在的行，其它行必须有第2列，且有无穷多个整数在第2列换行”。 　　前一半很容易证明，因为只有2和3两个素数的距离为1，所以其它任一整数必须存在第二列；但无穷多如何证明呢？这需要借用素数的无规性。 　　素数的无穷多已被欧几里得证明，但素数的无规性如何证明呢？因为素数出现的条件只随素数自身改变，所以其天生具有不确定性，即无规性。因为素数的无规性，所以对于任一4的整数X，必存在N（NX），使得X-N和X+N为素数。N必须随着X的增大而不确定，但不能没有，因为一旦没有素数则是有规律的（当然这也是哥德巴赫猜想的充要条件）。当然某个数也不能只有有限个，因为一旦如此，我们可