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一填空题(每小题4分,共20分)
一．填空题（每小题4分，共20分） 1. 2. 3. 0 4. （答也对） 5. 二．单项选择题（每小题4分，共20分） 1. C 2. B 3. A 4. B 5. B 三．解答题（每小题6分，共24分） 1. 解：证明存在性 设，则在上连续，且 ，，由闭区间上连续函数的零点定理知，方程至少有一个实根，介于与之间. (3分) 唯一性（反证法） 设方程在内有两个不同的实根和，即.由罗尔定理知，必存在一点，使，显然矛盾，故方程在内只有一个实根.（6分） 注：由，单调增加，证明方程只有一个实根者，也给3分. 2. 解： （3分） （6分） 3. 解：对求导得 （2分） 故有 == （6分） 4. 解：令，则，当时，；当时，. 从而有 （3分） === （6分） 四．（9分） 设为轴上任一点，则的面积 == （5分） ，当时，得.当在附近变动时，都增大，故知当的坐标为时，取最小值且. （9分） 注：从看出当时取最小值者给满分. 五．（9分） 解： = （5分） = = = （9分） 六．（12分） （1）分别对和求导，得和. 由于两曲线在点有公共切线，故有，得. 将分别代入两曲线方程，得， 于是有，，， 从而所求切点为. （4分） （2）两曲线与轴围成的平面图形的面积为 （8分） （3）旋转体体积 = = （12分） 七．（6分） 证明：因，，由拉格朗日中值定理得 （3分） 从而有 （6分）
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