向量范数的积分不等式与应用_数学_自然科学_专业资料.pdfVIP

第32卷第6期 大 学 数 学 V01．32，№．6 2016年12月 COLLEGEMATHEMATICS Dec．2016 向量范数的积分不等式与应用 沈进中1， 邓留保2 (1．安徽理工大学电气与信息工程学院，安徽淮南232001；2．安徽财经大学金融学院，安徽蚌埠233030) [摘要]证明了2一范数积分不等式，进一步将其推广到一般范数的积分不等式．作为该结果的一个应 用，本文在最后一部分给出一个实例说明采用一般的向量范数也可以证明微分方程解的唯一性，从而扩展了 微分方程理论分析的思维方法． [关键词]向量范数；积分不等式；Lebesgue零测度集；非自治系统 [中图分类号]0172．2[文献标识码]c [文章编号]1672—1454(2016)06一0083一04 1 引 言 常微分方程理论不仅广泛应用于工业，农业，生物工程，航空航天，系统工程等领域，而且是系统理 论研究的重要工具．在涉及向量长度时，文献[1—2]中采用的是2一范数．当前，几乎所有的常微分方程 专著[3_]的理论分析中都是采用1一范数[6]，而没有采用其他的向量范数或矩阵范数，这是笔者在学习 常微分方程时一直存在的一个疑问．一般而言，最能直观体现一个以维向量的长度的范数是2一范数，即 是欧氏范数．笔者曾尝在解的存在性和唯一性证明过程中用2一范数代替卜范数，但是发现一个最大的 问题就是无法得到一个范数积分不等式，带着这个问题，经过深入研究，最终解决此问题，并将结果作了 进一步推广． 2 预备知识 P一范数：工：(z，，z：，…z。)∈R一， z 1≤户。。． ||工忆：(妻ll一)“p， 4， 1一范数：工=(工。，z：，…z。)∈R zil． ||工||，=芝：I 2一范数：x一(mm…z。)∈嗯”， 忙If。一(∑hH“． 引理1‘73复数值函数训(￡)一M(t)+i口(￡)在[n，6]上可积，则成立 l卜∽dtl≤H砒川z． 引理2[e3有限维线性空间E的不同范数等价． 3 主要结果 定理3．1 [收稿日期]2016一07—12；[修改日期]2016一09—30 [基金项目]安徽理工大学硕博基金(ZY022)；安徽高校自然科学研究重点项目(KJ2015A076) [作者简介]沈进中(1985一)，男，博士，讲师，从事非线性系统研究．Email：jzshen009@163．com 万方数据 84 大 学 数 学 第32卷 L口，6j口J积，则 J．：工ct，dt c·， 0 0。≤j．：lI工cc，|l：dt． 证采用数学归纳法． 当以=1时，工(￡)=z。(￡)∈R1，根据定积分不等式，显然结论(1)成立． 当九=2时，根据引理1可知，结论(1)成立． 假设以=惫时，结论(1)成立，即 (2) 充要条件，则以i石r了j■丽F干=1i■万在[口，6]可积．应用引理1，有 √(f后面可可矿再研dt)2+(卜“洲t)2 ≤l6沂石忑乒焉i再三亍i矛r瓦—了比 化简，得 √(f厄可可i铲i可=丽dt)2+(卜“舢z)2