分形插值函数的分数阶微积分的分形维数_数学_自然科学_专业资料.pdfVIP

数 学 年 刊 2017，38A(1)：117—124 DOI：10．16205／j．cnki．cama．2017．0010 分 形 插值 函数 的分数 阶微 积分 的分形维 数木 梁 永顺 张 琦z 姚 奎s 提要 证明了线性分形插值函数的Riemann—Liouville分数阶微积分仍然是线性分形插值函数．在基 于线性分形插值函数有关讨论的基础上，证明了线性分形插值函数的Box维数与Riemann—Liouville 分数阶微积分的阶之间成立着线性关系．文中给出的例子的图像和数值结果更进一步说明了这个结论． 关键词 分形维数，Riemann—Liouville分数阶微积分，线性分形插值函数 MR (2000)主题分类 26A30，28A33 中图法分类 O174．6 文献标志码 A 文章编号 1000—8314(2017)01—00117-08 1 引 言 分形插值是插值理论的一个重要组成部分 [1-a]，其中线性分形插值函数按如下所定 义 4[-5]： 令 0=XoXl… XN：1，厶(X)是满足如下条件的线性映射： Li(O)=Xi一1， i(1)=Xi， i=1，2，… ，Ⅳ． (1．1) 令 K=[0，1]×碾，{uih50是某个数集．连续映射 ： 一 定义如下： (0，Yo)：Yi一1， (1，YN)=Yi， i=l，2，… ，Ⅳ． (1．2) 对于 OZ∈(0，1)， 满足 l x，t)一 x，u)1≤ 一扎l，Vx∈[0，1】，Vt，仳∈ ，i=1，2，·一，Ⅳ． (1．3) ： — 满足 (，Y)=(￡()， (，))， i=1，2，-一，Ⅳ， (1．4) 则 {， ：i=1，2，… ，Ⅳ)是一个迭代函数系统．由 (1．1)～(1．4)知，存在一个唯一吸引子 Ⅳ G=U (G)． i= 1 G的图像正好是某个满足 g()=Yi， i=1，2，… ，Ⅳ (1．5) 的函数9：0【，1]一 的图像．我们称之为分形插值函数． 当i=1，2，… ，Ⅳ时，令 11，qt连续且 x，Y)=diy+ ()． (1．6) 本文 2013年 9月4日收到，2016年6月 7日收到修改稿． 通讯作者．南京理工大学理学院，南京 210014．E—mail：liangyongshun~tom．com 南京航空航天大学理学院，南京210094．E—mail：zhangqinju~numu．edu．cn 。中国人民解放军理工大学理学院，南京 210093．E—mail：ya~kuinju@gmail．com 本文受到国家 自然科学基金 (No的资助． 118 数 学 年 刊 38卷A辑 我们称如 (1．6)所定义的g为线性分形插值函数． 下面将证明一个线性分形插值函数的Riemann—Liouville分数阶微积分仍然是线性分 形插值函数． 本文中，令 ：0【，1]，r(f，)表示 ，在 上的图像，c(v)表示一个仅与 有关的 正常数． 2 线性分形插 值函数 的Riemann—Liouville分数阶积分 Box维数定义如 定义 2．1[。】令 F是 碾 中的非空有界子集， (F)是能够覆盖F的直径不超过 5 的最少集合个数．下Box维数和上Box维数分别定义为 dim )=