第三章机械运动和机械波.ppt

弹簧振子 弹簧振子由一个轻弹簧、一个质量为m的物体块组成理想模型.弹簧的一端被固定不动,另一端与物体相连.假设弹簧的质量很小, 物体块与地面的摩擦力忽略不计.当弹簧偏离平衡位置时,弹簧的恢复力与物体的位移成反比. 简谐振动(simple harmonic motion) 上述微分方程称为简谐振动方程,其数学解描述了弹簧振子的位移与时间之间的关系,称为简谐运动方程. 许多物体的运动类似弹簧振子的运动,凡是可以用简谐振动方程描述的运动其位移与时间的关系均可以用运动方程来描述.如单摆、复摆在理想条件下的运动都可以用简谐运动方程描述. 它们也统称谐振子. 简谐运动方程中A、ω、φ分别被称为振幅、圆频率和初相位.它们描述了振动的最大位移、单位时间内的往返次数和振动点的初始位置. 从简谐运动方程中可以看到：简谐振动的振幅为一与时间和频率无关的常数;而位移是按周期在有限区域内的往复变化,并且和初始位置有关. 振幅、圆频率和初相位是决定振动具体位移大小和速度大小的决定性参数,所以称为振动三要素. 简谐运动的速度与加速度 简谐运动方程指出了位移与时间的关系.对位移进行一次微分可以得到在该位移处的速度, 进行两次微分可以得到在该点的加速度. 单摆与复摆 单摆与复摆的结构如图所示.它们的受力都可以用简谐振动方程描述.其运动都可以用简谐运动方程表示,都是谐振子的一种. 复摆的运动：装置如图,当刚体偏离平衡位置时,它受到一恢复力矩,其大小为 M = rmgsin? 由转动定律 M =I? 有 rmgsin? = -I? 将sin? 小角度近似为? ,整理并将上式写成微分形式有 设 并将变量改变为x,则方程变化为 方程形式与弹簧振子振动方程一样,所以运动的数学描述也与弹簧振子相同. 简谐运动方程的求解 设弹簧振子如下图所示,用外力将物块拉到距平衡位置 x=6cm 处,然后撤掉外力,以撤掉外力的时刻为计时起点,求该振动的运动方程.设物块质量 m=0.02kg,弹簧劲度系数k=0.02?2N·m-1. 代入以上结果,求出该弹簧振子简谐运动方程为 求解简谐运动方程的一般过程： 根据题意确认振动过程为简谐运动. 建立适合求解的坐标系. 根据已给条件求出振幅与圆频率. 根据初始位置和初始速度求出初相位. 将得到的各参数带入运动方程通解得到适合题意的特解. 运动方程说明位移是时间的函数,以时间为横坐标,以位移为纵坐标绘出位移与时间的关系图,这种图称为时序图.该图可以清楚的表示时间与位移之间的关系. 如果以位移为横坐标,以质点在该位移处的速度为纵坐标绘图,这种图称为相图.相图反映了速度与位移的关系.这两种图形都是振动研究中常用的图形. 注意：曲线的闭合性说明了谐振子系统能量守恒. 简谐振动的能量 简谐振动是一种理想过程,它的总能量在运动过程没有损耗,即在振动过程中总能量守恒.能量的形式在动能和势能之间相互转换. 其中势能为 动能为 总能量为两者之和,即 §3-3 简单的非理想振动 真实物理世界的振动并非都接近理想情况.在自然状态下,振子在振动时一般会受到摩擦阻力的作用而使运动能量减小.在人为状态下,为了维持振动可以施加策动力. 非理想情况的振动可归类为：阻尼振动和受迫振动. 振动在自然状态下自然减弱的过程称为阻尼振动.阻尼振动可分为：欠阻尼、过阻尼和临界阻尼.下图(左、中)显示了阻尼振动的振幅与时间关系.其中左图是欠阻尼振动状态,中图的两条曲线分别为过阻尼和临界阻尼状态下振动. 欠阻尼和过阻尼的振动方程 阻尼振动是一种复杂振动,在不严格情况下做实际分析时有些问题可以简化. 假设振动中的摩擦阻力与运动速度成正比,比例系数为?, 则振动方程可写为 其中 ,? 为阻尼系数. 共振(resonance)：受迫振动中存在一种特殊状态——共振,当策动力与振动系统的固有频率接近时产生共振. 演示：小电机的轴上安装一个偏心轮,电机被固定在一个弹簧上.当电机转动时偏心轮的不平衡重力周期性的给弹簧一个作用力.当电机旋转的速度改变时,作用力的周期随着转动速度而改变.当这个周期与弹簧–电机组成的系统的固有频率相接近时共振产生了. 共振和临界阻尼在实际问题中应用比较多.例如各种乐器、电子仪器里的振荡器、振动培养器等都利用了共振现象.共振现象有时是有害的.在指针显示式仪表里大多数都有临界阻尼装置. 自然界的振动是复杂的,也是我们所了解不多的. §3-4 简谐振动的合成与分解 在振动平面上建立坐标系可以把振动分为几类. 假如振动只发生在一个方向上,即用一个坐标就可以描述振动过程(例如第一节的简谐振子方程描述的运动)称为一维振动.如果需要用2个或3个坐标描述振动过程,则称这种振动为二维振动或三维振动. 所谓