52节解析几何和多变量函数.PPT

5.2节 解析几何和多变量函数 5.2节 解析几何和多变量分析 本节主要讨论用MATLAB解决空间解析几何的问题。重点是利用MATLAB的三维作图功能，对多变量函数的性质进行更为形象的讨论。 读者要从中学会曲面的绘制方法，等高线图和方向导数（梯度）的计算和绘制，进一步把它们的几何意义与解析表示式联系起来。 极坐标系中的绘图 【例5-2-1】 绘制极坐标系下的平面曲线 并讨论参数a、b、n的影响。 ◆建模 绘图的基本方法仍然是先设置自变量数组，按元数群运算的要求列出函数表示式，使得一个表示式能够同时计算出与自变量数目相等的因变量，立即可用来绘图。为了便于比较，编一个能分别画出两个图形的程序，采用for循环，读者可从中看到利用循环指数的技巧。 由于有两种参数下的数据，因变量也有两组数据，所以rho要设成二维的数组。 极坐标绘图程序exn521 theta=0:0.1:2*pi; % 产生自变量(极角)向量 % 或用 theta=linspace(0,2*pi,N); for i=1:2 a(i)=input(a= （书上值为a(1)=2;a(2)=2)); b(i)=input(b= （书上值为b(1)=pi/4;b(2)=0)); n(i)=input(n= （书上值为n(1)=2;n(2)=3)) rho(i,:)=a(i)*cos(b(i)+n(i)*theta); %因变量方程 subplot(1,2,i),polar(theta,rho(i,:)); %绘图 end 极坐标绘图程序的输出图形 ◆运行并输入不同参数的结果如图5-1-2。 a=2;b=pi/4;n=2 (四叶玫瑰线) a=2; b=0; n=3 (三叶玫瑰线) 行星轨道的绘制 【例5-2-2】 根据开普勒定律，当忽略其他天体引力，在一个大天体引力下的小天体应该取椭圆、抛物线或双曲线轨道。它相对于大天体的极坐标位置应满足下列方程： 其中ε为偏心率，β为常数，ρ为向径而θ为极角，所取的轨道形状由偏心率决定。试画出天体轨道，讨论参数β，ε对轨道形状的影响。 解：◆建模： 移项，将方程变换为 其中自变量为theta，因变量为rho。beta和epsilon为参数。 行星轨道绘制程序exn522 theta=0:0.1:2*pi; % 产生自变量向量 beta= input(beta= (取为1)); for i=1:3 % 设置小于1，等于1，大于1的三种偏心率 epsilon=input(epsilon= (依次取为0.5,1,1.5)); rho=beta./(1- epsilon.*cos(theta)); %求因变量 subplot(1,3,i),polar(theta,rho); %绘图 end 行星轨道绘制程序运行的结果 其中第三个图比例尺太大，看不出原点附近的情况。因此键入改变图形比例尺的语句： subplot(1,3,3),axis([-2,2,-2,2]) 改变beta将成比例地改变轨道的直径。 直角坐标系中椭圆的绘制 直角坐标中的椭圆方程为： 绘图时把y表示为x的显函数 这里正负号必须都要考虑，否则画出的椭圆就少了一半。设a=3,b=2,程序可编写如下： x=linspace(-pi,pi,1001); % 自变量数组 y1=2*sqrt(1-x.^2/3^2); % 上半部因变量计算 y2=-2*sqrt(1-x.^2/3^2); % 下半部因变量计算 plot(x,[y1;y2]),grid on % 两半图都画 axis equal % x,y轴同比例 参数法绘制直角坐标中的椭圆 用参数方程的形式作图也许更为方便，因为它不必考虑开方的正负号和出现的虚数。椭圆的参数方程形式如下： 因此自变量可以设为theta，其范围为0～2π。 theta= linspace(-pi,pi,1001); plot(3*cos(theta),2*sin(theta)),%省略了变量a,b grid on,axis equal 得出的图形是一样的。 二．二次曲面的画法 【例5-2-3】 二次曲面的方程如下 要求讨论参数a,b,c对其形状的影响,并画出其图形。 解：◆原理 数学模型很清楚，关键在于如何作出三维曲面图形。首先是自变量x和y不再是一维数组，而要设置成二维的矩阵(网格)。其次从上题中知道，在按给定x,y求z时有开方运算，有正有负，都要考虑在内： 按此式计算，一是有正负两个解，这在上例中已经谈到；二是在x,y取某些值时，z会出现虚数。为了使虚数不出现在surf中，把z的实部z1=real(z)作为三维绘图的因变量。