§3－3 数学归纳法.doc

§3－3 數學歸納法 甲 . 數學歸納法 數學歸納法( 第一原理 )： 設, 若具有下列二種性質, 則. (1) (2) . Notes: 數學歸納法( 第二原理 )： 設, 若具有下列二種性質, 則. (1) (2) 數學歸納法證明的步驟： 設表「與自然數有關的命題」. 如果 當時, 成立. ( 是某一固定的自然數 ) 若時, 成立, 則時, 也成立. 對一切自然數, 都成立. 步驟(1)稱為奠基步驟, 步驟(2)稱為歸納遞推步驟, 而(2)中的” 假設成立” 稱為歸納假設. 例1. 設為正整數, 試用數學歸納法證明下列恆等式： . 類題. 試證：對所有自然數都成立. 例2. 設為非負整數, 則是否都是質數? 試以數學歸納法討論下式是否為真? 類題. 設, 試說明不恆為質數. 例 3. 試利用數學歸納法證明：. 類題. 設為正整數, 試以數學歸納法證明： . 例 4. 設為自然數, 試利用數學歸納法證明： . 類題. 設為正整數, 試以數學歸納法證明： 例5. 試證：不論是任何正整數, 恆為16的倍數. 類題. 試證：不論是任何正整數, 都可被6整除. 求證：任意三個連續自然數的乘積必為的6倍數. 試證：不論是任何正整數, 都可被9整除. 例6. 若為自然數, 則恆可被81整除, 試證之. 類題. 試證：對一切自然數, 為64的倍數. 設為自然數, 證明必為4的倍數. 例7. 試證：不論是任何正整數, 的個位數字都是6. 例8. 比較與的大小. 例9. 設為自然數, 試比較與的大小. 類題. (1) 設為任意正整數, 求證：. (2) 設為自然數, 試比較與的大小. 例10. 設, 若, 則, 試證之. 例11. 試證：對於所有大於1之自然數均成立. 類題. 試證：對所有自然數均成立. 乙 . 數列的遞迴定義 1. 遞迴關係： 一個數列, 如果 (1) 給定前幾項( 如 )的值. ( 稱為初始條件 ) (2) 一般項可用前相鄰數項表示. ( 稱為遞迴關係 ) 這種定義稱為遞迴定義. 2. 數列的遞迴定義： 遞迴數列 利用初始條件與遞迴關係所表示的數列就叫做遞迴數列. 常見的遞迴數列形式 型一 : 型二 : 型三 : 型四 : Notes: 等差數列的首項為, 公差為的遞迴定義法為 等比數列的首項為, 公差為的遞迴定義法為 例12. 設一數列的遞迴定義式為, 試將此數列的第項以 的式子表示 ( 即以的函數表示 ). 類題. 設一數列滿足下列二條件： 求第項. (2) 在數列中, 設, 則 . 91 (3) 設一數列, 若, 求. 例13. 設一數列滿足下列二條件： , 求一般項. 類題. (1) 數列, 若, 則 . (2) 數列, 已知, 則 . 例14. 設一數列滿足下列二條件： , 求一般項. 類題. (1) 數列, 已知, 若,則 . (2) 設一數列, 若, 則 . (3) 數列, 已知, 則 . 例15. 設數列滿足, 其中為常數. 若為方程式 的二根, 試證：數列是以為公比的等比數列. 例16. 費氏(Fibonacci)數列定義如下： , 試利用例15.的結果求出費氏數列的一般項. 1( 1 第二章 三角函數的基本概念 1( 10