自控 第8章-3 描述函数法.pptVIP

* * 8.3 描述函数法 8.3.1 描述函数的基本概念 8.3.2典型非线性特性的描述函数 8.3.3 非线性系统稳定性分析的描述函数法 8.3 描述函数法 达尼尔(P.J. Daniel)1940年提出描述函数法 描述函数法基本思想： 当系统满足一定条件时，系统中的非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。 描述函数法的应用： 1）分析无外作用时，非线性系统的稳定性和自振问题 2）不受系统阶次限制 3）只能给出频率响应特性 8.3.1 描述函数的基本概念 1. 描述函数的定义 设非线性环节输入输出模型描述为 设非线性环节输入为正弦信号 对稳态输出进行谐波分析，展开为傅里叶级数，可得 其中， 为直流分量 为n次谐波 转换关系 为傅里叶系数 傅里叶系数计算 若 ， 且 时， 均很小 则可以用一次谐波近似表示非线性环节的正弦响应 非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比定义为非线性环节的描述函数 2. 一些性质 1）一般情况下，N(A)是A和ω的函数 若非线性环节无储能元件，则N(A)只是A的函数 2）非线性环节为输入x的奇函数，即 满足 那么，直流分量 则非线性环节的正弦响应是关于t的奇对称函数，即 若y(t)为奇函数，即 那么 3. 非线性系统描述函数法分析的应用条件 1）系统简化为一个非线性环节和一个线性部分闭环连接的典型结构形式 2）非线性环节的输入输出特性y(x)应是x的奇函数，即 ,以保证非线性环节的正弦响应不含有直流分量，即 3）系统的线性部分应具有较好的低通滤波特性，可将高次谐波分量大大削弱，闭环通道内近似只有一次谐波通过，从而保证描述函数法的结果比较准确 4. 描述函数的物理意义 线性系统的频率特性 是频率ω的函数，而与输入正弦信号幅值无关 非线性环节的描述函数是输入正弦信号幅值A的函数N(A)，描述函数可以认为是输入幅值A的复变增益放大器 8.3.2 典型非线性特性的描述函数 典型非线性环节一般是奇函数，且具有分段线性特性 【例8.3.1】计算如图所示继电特性的描述函数 解：继电特性的特性方程为 继电特性函数为奇函数，因为 所以 当 时 所以，y(t)为奇函数 继电非线性的描述函数 8.3.3 非线性系统稳定性分析的描述函数法 非线性系统整理为如下的典型结构，用描述函数N(A)近似表示非线性环节 若非线性环节和线性部分满足描述函数应用的条件，则描述函数可以作为一个具有可变增益的比例环节，于是系统近似为一个等效的线性系统 1.变增益线性系统的稳定性分析 变增益系统如图 K 为比例环节增益 设G(s)的极点均位于s左半平面，即P=0 闭环系统特征方程的频率特性为 或写为 若K=1，为常值，则简化为普通的Nyquist稳定性判断问题，只要 则系统稳定，即 曲线不包围(-1,j0)点 若K是变化的，如 则 为实轴上的一段直线 若 不包围这段曲线，则系统稳定，否则系统不稳定 2.应用描述函数分析非线性系统的稳定性 用描述函数N(A)近似表示非线性环节的系统如图 系统特征方程为 即 称为非线性环节的负倒描述函数 曲线和 曲线 在复平面上分别绘制 图A (1)两条曲线不相交 曲线包围 曲线 两条曲线不相交，表明特征方程 无实数ω解 所以，闭环系统不稳定，振幅A会增大 图B 曲线不包围 曲线 所以，闭环系统稳定，振幅A会减小 非线性系统稳定判据： 若 曲线不包围 曲线,则系统稳定 若 曲线包围 曲线,则系统不稳定 【例8.3.2】非线性系统如图，分析系统的稳定性 解：对于线性环节来说 查表得非线性环节描述函数为 所以， 曲线包围 曲线 所以，闭环系统不稳定 (2)两条曲线相交 若 曲线和 曲线相交，表明方程 有实数ω解，则系统存在无外力作用的周期运动，对应于相平面的极限环。两曲线相交时 由此可解得两曲线相交处的频率ω和幅值A。 系统处于周期运动时，非线性环节的输入近似为等幅振荡 稳定的周期运动：外界小扰动作用使系统偏离周期运动，当扰动消失后，系统的运动仍能恢复原周期运动 图A：交点标记为N0 交点处周期运动振幅为A0 图A 假设系统受小的扰动，使 所以，振幅将增大到A0 因为