微分方程例题选解.doc

微分方程例题选解 求解微分方程。 解：原方程化为 ， 通解为 由，，得，所求特解为 。 求解微分方程。 解：令，，原方程化为 ， 分离变量得 ， 积分得 ， 原方程的通解为 。 求解微分方程。 解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 ， 由 ， 得 ， 原方程的通解为 。 注：此题也为齐次方程。 求解微分方程。 解：设，则，原方程化为 ， 分离变量得 ，积分得 ， 于是 ， 积分得通解为 。 求解微分方程。 解：特征方程为 ，特征根为 ， 通解为。 求解微分方程。 解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，， 齐次通解为 。 可设待定特解 ，代入原方程得 ， 比较系数得 ，，从而， 原方程的通解为 。 求解微分方程。 解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为，， 齐次通解为 。 可设待定特解 ，代入原方程得 ， 比较系数得 ，，从而， 原方程的通解为 。 求解微分方程。 解：对应齐次方程的特征方程为，特征根为， 齐次通解为 。 可设待定特解 ，代入原方程得 ， 比较系数得 ，，从而， 原方程的通解为 。 利用“凑微分”的方法求解微分方程。 解： 由 ， 原方程化为 ， 积分得 ， 从而通解为 。 选择适当的变量代换求解微分方程。 解：设，则，原方程化为 ， 分离变量得 ， 积分得 ， 原方程的通解为。 利用代换将方程化简，并求出原方程的通解。 解：由，得 ， 。 原方程化为 ， 其通解为 ， 原方程的通解为 。 设二阶常系数线性微分方程的一个特解为。试确定常数，并求该方程的通解。 解：由题设特解知原方程的特征根为1和2，所以特征方程为 ，即， 于是 ，。 将代入方程，得 ， 。 原方程的通解为 。 已知，，是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程。 解：由题设特解知原方程的通解为，特征根为和2， 所以特征方程为 ，即， 故可设此微分方程为 ， 将代入方程，得， 故所求方程为。 设满足方程，其中，求。 解：，，， ， ， 。 设函数在上连续，且满足方程 求。 解：由于 所以 ， 求导得 ， ， 由，得，因此。 设连续可微，，确定，使曲线积分 与路径无关，并计算。 解：由曲线积分与路径无关，得 ， ， 由，得，从而 ， 于是 。 假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差，若室温为时，一物体由冷却到须经过分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的降低到。 解：设在时刻物体的温度为，则有 ，且， 分离变量得 ， 积分得 ， 即 ， 由得 ，， 再由得 ， ， 故， 令，得 ，。 共经过60分钟方可使此物体的温度从开始时的降低到。 设物体从点出发，以速度大小为常数沿轴正向运动。物体从点与 同时出发，其速度大小为，方向始终指向。试建立物体的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件。 解：设在时刻，位于点处，则 ， 两边对求导，得 ， （1） 由于 ， ， 代入（1）式得所求微分方程为 ， 其初始条件为 。 在面的第一象限内有一曲线过点，曲线上任一点处的切线与轴及线段所围三角形的面积为常数，求此曲线的方程。 解：设处的切线方程为，在轴上的截距为 ， 由题设知，化为 ， 其通解为 ， 由，，得，所求曲线方程为 ，即。 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为的飞机，着陆时的水平速度为。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为）。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？ 解：由题设，飞机的质量，着陆时的水平速度。从飞机触地时开始计时，设时刻飞机的滑行距离为，速度为。 根据牛顿第二定律，得，由于，因此有 ， 积分得 ，由，，得，从而 ， 当时，。 所以，飞机滑行的最长距离是。 1