应用排序不等式巧解一串竞赛题.pdf

1997 年第 4 期 　　　　　　　　　　　　　数 学 通 讯 43 应用排序不等式巧解一串竞赛题 毛 晓 峰 (兰州铁路一中　730000) 　　排序不等式: 设两组实数 a 1, a2 , …, an 和 b1, b2 , ∴ + + ≥ 3 , x a y b z c 2 …, bn 满足 a b c 3 即 + + ≥ . ≤ ≤…≤ , ≤ ≤…≤ b+ c c+ a a+ b 2 a 1 a2 an b1 b2 bn 例 2　设 , , 都是正数, 试证 则 a b + a b + …+ a b (顺序乘积和) a b c 1 1 2 2 n n a2 b2 c2 1 ≥ + + …+ (乱序乘积和) a b a b a b 1 i 1 2 i2 n in + + ≥ (a+ b+ c). b+ c c+ a a+ b 2 ≥ + + …+ (逆序乘积和) a b a b a b 1 n 2 n- 1 n 1 ( 1988 年第 2 届“友谊杯”国际数学邀请赛试 其中 , , …, 是数码 1, 2, …, 的任意一个 i1 i2 in n 题) 排列. 证　该不等式是关于 , , 的对称不等式, 不 a b c 当且仅当 a 1= a2 = …= an 或 b1= b2 = …= bn 时 妨设 等号成立.