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应用排序不等式巧解一串竞赛题.pdf
1997 年第 4 期 数 学 通 讯 43
应用排序不等式巧解一串竞赛题
毛 晓 峰
(兰州铁路一中 730000)
排序不等式: 设两组实数 a 1, a2 , …, an 和 b1, b2 , ∴ + + ≥ 3 ,
x a y b z c 2
…, bn 满足
a b c 3
即 + + ≥ .
≤ ≤…≤ , ≤ ≤…≤ b+ c c+ a a+ b 2
a 1 a2 an b1 b2 bn
例 2 设 , , 都是正数, 试证
则 a b + a b + …+ a b (顺序乘积和) a b c
1 1 2 2 n n
a2 b2 c2 1
≥ + + …+ (乱序乘积和)
a b a b a b
1 i 1 2 i2 n in + + ≥ (a+ b+ c).
b+ c c+ a a+ b 2
≥ + + …+ (逆序乘积和)
a b a b a b
1 n 2 n- 1 n 1
( 1988 年第 2 届“友谊杯”国际数学邀请赛试
其中 , , …, 是数码 1, 2, …, 的任意一个
i1 i2 in n
题)
排列.
证 该不等式是关于 , , 的对称不等式, 不
a b c
当且仅当 a 1= a2 = …= an 或 b1= b2 = …= bn 时
妨设
等号成立.
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