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第十一章 线性相关与回归 两个指标：二元分析 案例讨论 某篇论文中，作者作了两个指标的相关系数r=0.2，P0.001.作者下结论，认为这两个指标相关密切。请问这个结论对吗？为什么？ 第三节 线性相关与回归应用的注意事项 4.相关未必真有内在联系.必须将两个有联系的变量做相关分析才是有意义的。 5.出现异常值，易出假象. 线性回归(linear regression) 直线回归(linear regression) F. Galton 回归的由来？？？ 例11-1 研究饮水氟含量与成人骨X线改变指数间的关系，得到了表11-1中所示的资料，试进行回归分析。 二、回归方程的估计 表11-1 饮水氟含量(mg/L)与骨X线改变指数 调查对象 饮水氟含量（X） 骨X线改变指数（Y） XY X2 Y2 1 0.24 0.40 0.10 0.06 0.16 2 0.80 0.56 0.45 0.64 0.31 3 1.00 1.91 1.91 1.00 3.65 4 1.80 0.86 1.55 3.24 0.74 5 3.12 5.25 16.38 9.73 27.56 6 4.10 3.40 13.94 16.81 11.56 7 5.60 58.38 326.93 31.36 3408.22 8 10.27 70.33 722.29 105.47 4946.31 9 10.81 116.30 1257.20 116.86 13525.69 合计 37.74 257.39 2340.75 285.17 21924.20 由图可见，成人骨X线改变指数随饮水氟含量的增加而增加且呈直线趋势，但并非所有点恰好全都在一直线上，此与两变量间严格的直线函数关系不同，称为直线回归（linear regression）,其方程叫直线回归方程，以区别严格意义的直线方程。线性回归是回归分析中最基本、最简单的一种，故又称简单回归。 线性回归的基本概念 将饮水氟含量称为自变量(independent variable)，用 X 表示；成人骨X线改变指数称为应变量(dependent variable)，用 Y 表示。 目的：研究应变量Y对自变量X的数量依存关系。 特点：统计关系。 X值和Y的均数的关系，不同于一般数学上的X和Y的函数关系。 直线回归方程（linear regression equation ） 直线回归方程的一般表达式 ?为X值处Y的估计值 a为回归直线在y轴上的截距 b为回归直线的斜率，称为回归系数 意义为X每增加（减少）一个单位，Y平均改变b个单位 如何确定a,b？即如何找到拟合的直线？ 最小二乘法的原理：即找到一条直线，使得各个点到这条直线的纵向距离的平方和最小。 X Y a,b的计算 直线回归方程（linear regression equation ） lxy— X与Y的离均差乘积之和 lxx— X 的离均差平方和 （1）绘制散点图： 由散点图可见，饮水氟含量与骨X线改变指数之间存在着直线趋势，可以考虑建立二者之间的线性回归方程。 simple regression （2）计算回归系数与常数项 本例： simple regression 代入公式得： 则回归方程为： simple regression 说明饮水氟含量每升高1mg/L，骨X线改变指数平均升高9.94个单位。 按上述回归方程，在 X 实测值的范围内，任取两个相距较远的点 和 ，连接A、B两点即得到回归直线。本例可取 ，计算出 ，计算出 ；两点的连线即为所求的回归直线。 （3）作回归直线 simple regression 建立样本直线回归方程，只是完成了统计分析中两变量关系的统计描述，研究者还须回答它所来自的总体的直线回归关系是否确实存在，即是否对总体有 ？ 样本回归系数的假设检验— t检验 1.建立假设，确立检验水准： H0：β=0 H1：β≠0 α=0.05 2.计算检验统计量： sb—回归系数的标准误 样本回归系数的假设检验— t检验 3.确定P 值，判断结果 查自由度=n-2的相应t 界值，tb与相应的t界值比较确定P值 2、计算统计量 t=6.58 3、确定P值，判断结果，按υ=9，查t值t0.01/2(7)=3.499, P0.01,按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为饮水氟含量与成人骨X线改变指数之间存在线性回归关系。 一、 回归方程的应用 1.描述两变量的依存关系 2.