第5章 计算机控制系统的数学模型.pptVIP

Matlab程序： A=[ 0 1 0 0; -k/M1 -u*g k/M1 0; 0 0 0 1; k/M2 0 - k/M2 -u*g]; B=[ 0; 1/M1; 0; 0]; C=[0 1 0 0]; D=[0]; t=0:0.1:300; step(A,B,C,D,1,t) 仿真结果如图5-12所示。用状态变量描述一个系统时把输入输出间的关系分为两段加以描述：系统输入量引起系统内部的变化—状态方程；系统内部的变化引起系统输出量的变化—输出方程。该方法可深入到系统内部故称为内部描述法。。。。。。。。。。。。。。。。。 5.4.3 传递矩阵 1. 传递矩阵 对 n阶子系统，若输入为 p维向量 U(t) ，输出为 m维 向量 Y(t) ,在初始条件为零时，存在 维矩阵 使 ，即 （5-47） 则 G(s)定义为该系统的传递矩阵。当 p=m=1时，传递 矩阵G(s)成为单输入输出系统的传递函数。因此，传递 矩阵G(s)也叫广义传递函数。 图5-13 多输入输出线性定常系统 对于图5-13所示多输入多输出线性定常系统，其状态空间 表达式为： （5-48） 其中A，B，C，D均为常数矩阵。 称为系统的状态矩阵（系统矩阵）。 称为系统的输入矩阵。 称为系统的输出矩阵。 称为系统的前馈矩阵。 状态空间表达式（5-48）的拉普拉斯变换为： （5-49） 与传递函数类似，定义系统的零初始条件 非奇异时，有 ， 传递矩阵为 （5-50） 当系统为单输入单输出系统时，则上式传递矩阵就是系统 的传递函数。 2. 传递函数（矩阵）与状态空间表达式之间的关系 1）传递函数是系统在初始条件为零的假定下输入输出间的关系描述。状态空间表达式可以描述初始条件为零的系统，也可以描述初始条件为非零的系统。 2）传递函数适用于线性定常系统，不能应用到时变系统中去。而状态空间表达式可以在定常系统应用，也可以在时变系统中应用 3）对于机理不甚明确的复杂系统，建立状态空间表达式是很繁的，有时是不可能的，然而借助频率特性测试仪等实验方法可以求得系统频率特性，进而获得系统传递函数。这种方法往往是方便的、有效的。 4）传递函数只能给出系统的输出信息，而不能提供系统内部状态的信息。这就有可能出现这样一种情况，即系统是稳定的，但系统内部元件的某个(些)物理量有可能超过它们的额定值。状态空间表达式描述不仅可以给出系统输出信息，而且给出内部的状态信息。 5）一般地说，状态变量的维数高于输出量的维数。因此在控制中，用状态实现控制，可调参数多，容易得到比较满意的系统性能。 究竟选取哪种描述，应视所研究的问题以及对这两种描述方式的熟悉程度而定。 图5-3 时域到频域的变换 图5-4 三种数学模型的关系 【例5-3】某玩具火车只有一节火车头和一节车厢，火车仅沿单方向运动，希望通过控制，使火车启动/停止平稳且运行速度稳定。已知火车头质量：M1；车厢质量：M2；M1与M2通过弹簧连接，弹簧刚度系数为k；火车引擎拉力：F；滚动摩擦系数为?。试建立系统的频域模型。 解：假设火车头和车厢的位移分别为x1和x2，建立物理模型如图5-5所示： 图5-5 玩具火车物理模型 根据牛顿定律可得微分方程： 定义火车引擎拉力F为系统输入变量，火车头速度 为输出变量。对上面微分方程两边分别求拉普拉斯变换得： 整理可得： 则系统传递函数为： 若给出玩具火车参数：M1 = 1 kg；M2 = 0.5 kg； k = 1 N/sec；F= 1 N；? = 0.002 sec/m；g = 9.8 m/s^2。通过如下MATLAB程序： num=[M2 M2*u*g k]; den=[M1*M2 2*M1*M2*u*g M1*k+M1*M2*u*u*g*g+M2*k M1*k*u*g+M2*k*u*g]; step(num,den) 仿真结果如下图所示： 5.3.3 离散时间系统的传递函数 另外一种分析离散系统的主要方法就是传递函数。 1. 离散时间系统传递函数的基本概念 对于离散系统，一般用差分方程来描述，其形式为： 定义该离散系统的传递函数为：初始条件为零时，系统输出输入序列的Z变换的比值： （5-30） 通常将离散系统的传递函数称为 Z传递函数，又叫脉冲传递函数。系统的脉冲传递函数即为系统的单位脉冲响应 g（t）,经过采样后离散信号 g*（t）的Z变换，可表示为 还可表示为 2. 离散时间系统的开环脉冲传递函数