李永乐线性代数冲刺笔记(打印版).pdfVIP

线性代数冲刺笔记 1 2 0   2 【例题1】B＝0 3 a ，A －2AB ＝ E，r(AB－2BA＋3A) ＝ （） 0 0 5    （A）1 （B）2 （C）3 （D）与a 有关 【解】 ∵A (A－2B) ＝ E ∴A 可逆，且A－1 ＝A－2B －1 －1  A (A－2B) ＝ (A－2B) A (A A ＝ A A)  AB ＝ BA 那么，AB－2BA＋3A ＝ 3A－AB ＝A (3E－B) 又，A 可逆，知 r(AB－2BA＋3A) ＝ r(A (3E－B)) ＝ r(3E－B) a 有|3E－B |＝0，又3E－B 有二阶子式不得零，从而r(3E－B) ＝ 2. 【评注】 本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法. 设矩阵A －n 阶，B －n 阶，若AB ＝ BA ＝E ，则称矩阵A 可逆，且B 为A 的逆 矩阵.由此有A A －1 ＝A －1 A . 【例题2】A ，η，η，…，η是Ax ＝ 0 的基础解系，α是Ax ＝ b 的一个解. m ×n 1 2 t (I)证明 α，α＋η，α＋η，…，α＋η线性无关. 1 2 t (II)证明Ax ＝ b 的任意一个解都可以由 α，α＋η，α＋η，…，α＋η线性表出. 1 2 t 【分析】η，η，…，η是Ax＝0 的基础解系，那么 η，η，…，η必定线性无关，从而证明 α，α＋η，α＋η，…，α＋ 1 2 t 1 2 t 1 2 η线性无关可以用定义法。 t 【证】(I) （用定义，重组，同乘） 设 k α＋k (α＋η)＋k (α＋η)＋…＋ k (α＋η)＝0 (1) 0 1 1 2 2 T t 即 （k ＋k ＋k ＋…＋k ）α＋k η＋k η＋…＋k η＝0 (2) 0 1 2 T 1 1 2 2 T t 由A α＝b， A η＝0 （i＝1，…，t），用A 左乘（2），有 i (k ＋k ＋k ＋…＋k )A α＋k A η＋k A η＋…＋k A η＝0 0 1 2 t 1 1 2 2 t t 即 (k ＋k ＋k ＋…＋k )b＝0 0 1 2 t 又b≠0，有k ＋k ＋k ＋…＋k ＝0 (3)