求解一类非对称线性方程组的极小化残量法.pdfVIP

维普资讯 第13卷第4期 南京师太学报 (自然科学版) V0】13No4 ． 1． ： 二 ， ， ／ ， ： ， ， - ， _l 求解一类非对称线性方程组的 极小化残量法① 陈金如 (数学系) 摘 要 奉丈考虑系数阵的特征值正 负成对 出现的非对称线性方程组，对这类线性方程组．本 文提 出了一种基于特殊予空问的极小化残量法．它在理论上具有至多N ／2步的收敛性 (Ⅳ为方程组的阶数)，文中的数值试验验证了所得结论． 关键词 非对称的，线性方程组，特征值．极小化残量法． 0 引 言 对线性方程组 Ax=b，A∈R ．b∈R ． (1) A是非奇异的非对称阵，且前较为流行的迭代解法是极小化残量法一一使每步迭代所得残 量的2范数在某子空间中达到极小．它在理论上一般具有至多 Ⅳ步收敛性．其基本思想 是取初始近似解向量 ．令 =b--Ax0’ (， )=Spanf ．Ar。．… ·Am-lro1是 由向量 ，Ar。．…．Am-Ire张成的子空间，第 步迭代是在仿射子空 间 。十 (， r。)中求一点 ，使得 lib—Ax ll2 rnin ilb—Axll2 【2J 然而，对一些特殊类型的线性方程组，可选取特殊类型的子空间．使每步迭代所得残 量的 2范数在此子空问中达到极小．这样既可 以减少计算量、存储量．又可 以加快收敛的 速度 ．本文考虑系数阵A的特征值正负成对 出现的一类线性方程组．因 非奇异，梭此 时Ⅳ为偶数． I 基本思想及理论 如副一般的极小化残量法，我们所提方法的基本思想是取初始近似解 向量 嘞，令 = 6一 上D_ (A． )=Spanf ，A3．…．A2m-I1是 由向量 ， ’，o，…， 张成的子空I1=ij．第 步迭代是在仿射子空间 +工 (，0)中求一点 ，使得 lib-Ax II2 ra in lib-Axll2· (3) … 。 ． 引理 如果矩阵A的特征值正负成对出现，那么其特征多项式中只出现偶次幂项 ． 定理 1 设方程组 (1)的准确解为 ，对任意的X0∈R ，r0=b--Ax。．若 m是使得 ①本文于1989年9月19H收到 一 15一 维普资讯 ArD，A 。。…， 一 线性无关的最大整数 ．则 ’ ∈ 。+Span；At。，A3，。， … ， A Z,,-i， 1． · ／ 一 。 且 Ⅲ ／2．若 、 ‘ 。。 … ， A ~-Ir E 。+Span { ，。，A’， }， o 则 fⅢ。 证明 由假设知。向量组 Ar A3ro，…． 一 ．