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浅议逆矩阵的计算 作者：刘星妍 摘要：矩阵理论在《高等代数》中有着重要的地位，矩阵和数相仿，可以运算，特别是乘法和数一样有逆运算。矩阵及其它的求逆运算，对以后数学的学习，是一个必不可少的知识点。而且在近几年的考研数学考试中，矩阵理论中的求逆矩阵更是一个重点考核内容。正确地选择和使用求逆矩阵的方法可以更快更好地解决各类求逆矩阵的问题，使我们学习高等代数的必备知识，下面对于求逆矩阵的方法进行全面的论述，并做进一步的探究。 关键字：逆矩阵 伴随矩阵 初等变换 分块矩阵 解方程组 定义：设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得，那么A称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵。记作： 用伴随矩阵法求逆矩阵 利用伴随矩阵法求逆矩阵，首先需要判断n阶方阵A是否是可逆矩阵。我们知道，n阶方阵A是可逆矩阵的充分且必要条件是：.然后直接利用公式： ，其中称为n阶方阵A的伴随矩阵，它可以通过计算n阶方阵A的个代数余子式而得到。 求矩阵A的逆矩阵。其中 解：因为： 所以A是可逆矩阵，通过计算A行列式的所有元素的代数余子式如下： =-5, =10, =7, =2, =-2, =-2, =-1, =2, =1 于是： 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆，既方便、快捷，又有规律可循。因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可，若可逆矩阵是三阶或三阶以上的行列式，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上的代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上的行列式，工作量大且中途出现符号及计算的差错，但是公式的意义主要在于理论证明。 初等变换法（加边法） 我们知道，n阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是它能表示一系列初等矩阵的乘积，从而可以推出可逆矩阵可以通过一系列的初等变换后化成单位矩阵，即有一系列初等矩阵使 (1) 则 (2) 将A,I这两个n阶矩阵凑在一起，做成一个阶矩阵（A,I），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可合并写成： 这样就可以求出A的可逆矩阵。 简单的说，如果n阶方阵A可逆，作一个的矩阵（A,I），然后对此矩阵施以行初等变换，使A化为单位矩阵I，同时I化成，即 例2、求矩阵的逆矩阵。 解：作36矩阵 对它施行行初等变换（不能施行列初等变换！）第1行分别乘以-2和3加到第2行、第3行上，得 对后以矩阵的第2行乘以-2加到第3行上，得 第3行分别乘以1和()加到第2行、第1行上，得 第3行乘以得 前三列已变成,所以后三列即为 所以 此方法适用于三阶以上矩阵求逆，适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简单，特别是，当阶数较高时，使用初等变换法的优点就更为明显，只需要反复进行行初等变换法即可，并且条件与结果非常分明，便于检查，是一种常用的方法。另外，如果不知矩阵是否可逆，同样可按上述方法去做，因为我们知道，n阶方阵是可逆矩阵的充分必要条件是它可通过初等变换化为单位矩阵。因此，只要矩阵经过行初等变换后左边的那一块中有一行（列）的元素全为0，则A就不能用初等变换化为单位矩阵，那么A就不可逆。 3、用分块矩阵法求逆矩阵 在进行高阶矩阵运算时，利用前面的两种方法就显得比较繁琐，计算量比较大，容易出现差错。这时我们按某种规则将高阶矩阵分成若干块，每一小块是一小矩阵，这样一方面对小矩阵进行运算，另一方面每个小矩阵又可作为一个元素按运算规则来进行运算，求出矩阵的逆矩阵。 设T为可逆矩阵，A、B也为可逆矩阵。则对于一般的矩阵，则它的求逆矩阵的公式为： 对于一些特殊的矩阵，它的求逆矩阵的公式就简单一些： 对于上三角矩阵： 对于下三角矩阵： 对于对角矩阵 ： 例3、求矩阵的逆矩阵。 解：令 因为 , , 故： = 此方法适用于大型且能化成对角子矩阵或三角块矩阵，是特殊方阵求逆的一种方法，将高阶矩阵分成低阶矩阵。利用这种方法要求在求逆矩阵之前，首先要将已给定的矩阵进行合理的分块方能使用。不合理的分块也可能导致更大的计算量。 4、用解方程组法求逆矩阵 在求一个矩阵的逆矩阵的时候，可以先设出逆矩阵，待求的元素用未知数代替。然后根据逆矩阵的定义,再利用方程组的知识，两端对应元素相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，通过解方程组，解出未知数，代入开始设的逆矩阵，便可求解逆矩阵。 例4、求