矩阵方程X＋A^＊X^-qA=Q（q≥1）的正定解.pdfVIP

24卷第4期 单；=}=j师范学院学报(自然科学版) Vol 24．No．4 2007年12月 Journal of Fuyang Teachers College(Natural Science) Dca．2007 矩阵方程X+ *X—g —Q(q≥1)的正定解 刘 巍 (湖南大学数学与汁量经济学院，长沙 410082) 摘 要：研究了非线性矩阵方程X+A X A—Q(q≥】)在AA 一A A，AQ=QA时的准最大正定解，并给出了解的 存在性定理以及求解方法． 关键词：非线性矩阵方程；准最大正定解；迭代方法 中图分类号：O241．6；0151．21 文献标识码：A 文章编号：1004—4329(2007)04—0053—03 ≥B ，当a∈[一1，O)时， ≤B ． 0 引言 引理2[ 设 ∈C” ，。，是 的Jordan标准 本文研究非线性矩阵方程 形，P∈c： ，A—PJP_。，若函数厂( )在 的谱上 +A X… A—Q(q≥ 1) (1) 有定义，则 的准最大正定解，其中 是正规矩阵，Q0，且 ，Q f(A)一P厂( I)P 一 可换，当q一1时矩阵方程(1)在控制理论、动态规 Pdiag(f( ，1)，厂( ，2)，…，l，、(r， ))P～， 划、统计学、随机渗入、排队理论、梯形网格等多个领 其中 域都有很重要的应用[1-3]．证明了g===1时矩阵方程 f(A ) ，(^ ) ( ) (1)如果存在正定解，则必存在最小和最大正定解， Engwerda I G．研究了q一1时矩方程(1)如果存在 厂(。， )一 f(A，) i 正定解，则必存在最小和最大正定解[3]，Ivanov I O ! G．研究了q是整数时矩阵方程(1)的最小正定解(参 f(A ) 见[4])，然而当q≥1，Q0时，目前理论成果还很 。， 。，… ， 是 的r个互异的特征值，d 是 ，，的阶 少． 数． 本文主要研究 ===A A，AQ===QA时矩阵 定理3 如果 是正规矩阵，Q0，且 ，Q可 疗程(1)的准最大正定解及其求解方法．用 ”表 换，则 ，Q可同时酉对角化．且对V c。∈R，都有 示全体，z x n阶酉矩阵的集合， 表示，z阶单位矩阵， Q 一Q ，A． ll ll表示矩阵 的谱范数， 表示矩阵 的共轭 证明 因为 是正规矩阵，故由谱分解定理知 转置， 0( ≥O)表示矩阵 是Hermite(半)正 存在71∈ 咄 使用 定矩阵． B( ≥ B)表示 矩阵 ～B是 T AT— diag( l，a2，…，an)， Hermite(半)正定矩阵， 表示矩阵方程(1)的准最 Ia。I≥ Ia。I≥…≥ Ia，。I． 大正定解(对矩阵方程(1)任意正定解 有 由 ，Q可换，知丁 Q ’71 71一T 丁71 Q71． (Q一事 Q一专)≤ 九(Q一言 ￡Q一言))． 易知存在 ∈ ”使得