线性卷积循环卷积_dft.pptVIP

专题：循环卷积、用DFT求线性卷积; 有限长序列的循环卷积（又称圆周卷积） (1) 定义 设x1(n) 和x2(n) 是两个长度为 L、M的有限长序列，它们的N点循环卷积x3(n) 定义为： 注意：其中N=Max{L,M} ;注意：如果其中一个序列(或者两个序列）的长度没有所求N点循环卷积的长度长，那在该序列后面补零，直到长度达到N (c) 用解析式计算 此式可用矩阵表示为： ; ; h矩阵这个N阶方阵中的元素都是n由0到N-1区间的h(n)，这是通过求模(n-m)N 而得到的。在实际运用时只需要按照h矩阵中元素排列的规律直接写出这个矩阵。 例 设 x1(n) = {1,2,3,4,5}，x2(n)={6,7,8,9}，计算 5 点循环卷积 。 解： x2(n) 为 4 点序列，在其尾部填零使其成为 5 点序列，再进行循环卷积运算。 ;; 循环卷积与线性卷积的关系 我 们 已 经 知 道 ， 可 以 用 DFT 来 求 循环卷积，即 ，因此只要找到循环卷积与线性卷积之间的关系，就可以解决用DFT求线性卷积的问题。 ;设x(n) 长度为N1，h(n) 长度为N2，则线性卷积 之长为N = N1+N2-1。为了便于用矩阵表示，我们在序列x(n) 的后面添N2-1个0，使x(n) 的长度变为N，这样，线性卷积为： 用矩阵表示为： ;; 与循环卷积的矩阵表示相比较，可以看出，即使进行线性卷积的两个序列长度也都是N，其结果也与循环卷积不同：两个表示式中h矩阵不但元素的排列不同，而且矩阵的大小也不同。事实上，如果x(n)和h(n)的长度都为N，则它们的循环卷积yN(n)之长度为N，而它们的线性卷积y(n)之长度为2N-1。 ; 但是，在一定的条件下，可以使循环卷积与线性卷积的结果相同。考虑两个有限长序列的线性卷积：设x(n)的非零区间为0≤n≤N1-1, h(n)的非零区间为0≤n≤N2-1，则线性卷积y(n)=x(n)*h(n)的长度为N=N1+N2-1，非零区间是0≤n≤N-1。 ; 现在来设法构造这两个序列x(n) 与h(n) 的循环卷积，使其结果与线性卷积相同。 在x(n) 后面补充N2-1个0，使x(n)长度变为 N，x(n)：x(0)、x(1)、…、x(N1-1)、0、0、…、0。 在h(n) 后面补充N1-1个0，使h(n)长度变为 N，h(n)：h(0)、h(1)、…、h(N2-1)、0、0、…、0。 再将h(n) 进行周期延拓，周期为N： ;为了计算x(n)与h(n)的循环卷积yN(n)，我们先计 算 与 的周期卷积 ： ; 此式说明，周期卷积 是x(n)与h(n)的线性卷积y(n) 的周期延拓。由于 与 的周期都为N，因此它们的周期卷积 的周期也为N，正好等于y(n)的长度，即上式中以N为周期的周期延拓没有发生混叠，线性卷积y(n)正好是周期卷积 的一个周期。 ; 例 设两个有限长度序列：x(n), 0≤n≤7；y(n), 0≤n≤19。令X(k)和Y(k)分别表示它们的20点DFT，而序列r(n)=IDFT[X(k)Y(k)]。试指出r(n)中的哪些点相当于线性卷积g(n)=x(n)*y(n)中的点。 ; 解：设R(k)=X(k)Y(k)，于是 ，并且r(n)之长度为20。又设g(n)=x(n)*y(n)，则线性卷积g(n)之长度为8+20-1=27。循环卷积r(n)是周期卷积 的主值序列，而 又是线性卷积g(n)的周期延拓，延拓的周期就是周期卷积的周期20。 ;由于2027，即延拓的周期小于线性卷积的长度，故延拓时必然发生线性卷积的混叠，即 的每一个周期的前27-20=7个值都是g(n)的前一个周期的后7个值与后一个周期的前7个值的混叠，也就是说，循环卷积r(n) 的20个值中，后13个值才与g(n)中间部分的13个值相???。因此，对于循环卷积r(n)，（0≤n≤19），只有7≤n≤19这13个点相当于线性卷积g(n)中的点。 ; 用DFT求线性卷积