一、前言二基本.PDFVIP

數學傳播 40卷 4期, pp. 71-81 超級正交拉丁方與超級雙重幻方系 梁培基 · 邱荷生 一、 前言 在 [1] 中, 談祥柏介紹了 [2] 中的一個 8 階雙重幻方。 在 [3] 中梁培基構造了一個 8 階雙 重幻方和一個 16 階雙重幻方。 我們首先定義了超級雙重幻方和超級拉丁方。 並說明如何由兩個正交的超級拉丁方構造出 一個超級雙重幻方, 以及如何由一個超級雙重幻方構造一個超級雙重幻方系。 並指出由兩個階 k e 次分別為 m 和 n 的超級雙重幻方有可能構造出階次為 m n 階的超級雙重幻方。 並且給出兩 個 8 階超級雙重幻方的例子及一個 32 階超級雙重幻方的例子。 還證明了不存在 4 階超級雙重 幻方, 最後並提出了一些遺留的問題。 二、 基本定義 如果一個 n 階方陣 A = (a ) 的元素是由 a ,a ,...,a 這 n 個元素 成, 而且此方陣 ij 1 2 n 的每一行 (列) 的元素都互不相同, 我們稱此方陣為一 n 階拉丁方。 對一個 2n 階的方陣 A = (a ), 我們稱它的元素 a ,a ,...,a 為 A 的主對角線元 ij 11 22 nn 素; a1,2n,a2,2n−1,...,a2n,1 為 A 的副對角線元素。 而元素: an,1,an−1,2,an−2,3,...,a1,n 及 an+1,2n,a2n+2,2n−1,an+3,2n−2,...,a2n,n+2 為 A 的 第二副對角線。 而元素: a1,n+1,a2,n+2,a3,n+3,...,an,2n 及 an+1,1,an+2,2,an+3,3,...,a2n,n 為 A 的第二主 對角線。 以 n = 4 為例 2n 階的各個對角線如下: 71 72 數學傳播 40卷 4期 民 105年 12月 如果一個 2n 階的拉丁方, 它的主對角線上的各元素, 副對角線上的各元素, 第二主對角線 上的各元素及第二副對角線上的各元素都互不相同, 則稱此拉丁方為超級拉丁方。 而兩個拉丁方 A = (a ) 與 B = (b ) 的階次相同時則稱它們為正交的, 如果每一個有 ij ij 2 序二元集 (a b ) 在此 n 個有序二元集 (a b ), i = 1,2,...,n, j = 1,2,...,n 中恰出現 ij ij ij ij 一次。 兩個矩陣 A = (a ) 與 B = (b ) 的階次相同時, 它們的點積 C = (c ) 是指 ij ij ij (c ) = C = A · B = (a ) · (b ) = (a b ). ij ij ij ij ij 一個 2n 階方陣 C = (c ) 叫做超級和 (積) 幻方, 如果 C 的各個元素互不相等, 而且 C ij 的每行上元素的和 (積), 每列上元素的和 (積), 主對角線上元素的和 (積) , 副對角線上元素的 和 (積) , 第二主對角線上元素的和 (積) 及第二副對角線上元素的和 (積), 都相等, 若 C 的各 個元素有相等的, 則稱為亞超級和幻方。 如果 C 既是超級和幻方, 又是超級積幻方, C 叫做超級雙重幻方。 三、 基本定理 定理1: 若 A = (a ) 與 B = (