河南理工大学计算机图形学7章-2 B样条概要1.ppt

第7章―*/30 计算机图形学 * 计算机科学与技术学院 第7章 三维对象 本次课内容： §7.4 三次参数曲线 §7.4.1 曲线和曲面基础 §7.4.2 Hermite曲线 §7.4.3 Bezer曲线 §7.4.4 B样条曲线 第7章 三维对象 §7.4.3 Bezier曲线 Hermite曲线: 1 曲线段拟合需给定起点、终点的切失，这在实际工作中确定比较困难。 2 整条曲线连续需要建立多个矢量方程，联立求解； 3 曲线的凸包性取决于切线矢量； 4 曲线的扩展性和局部修改性比较差； 如果将切矢用位矢代替，问题就会迎刃而解。 1971年，法国雷诺汽车公司Bezier(贝塞尔)以逼近为基础研究曲线、曲面的构造方法，提出了由控制多边形定义曲线的方法，形状的变化完全在设计者的预料之中，著名的Bezier曲线和曲面。 1．Bezier曲线的定义 在空间给定ｎ＋１个点Ｐ0,Ｐ1,?Ｐn，称下列参数曲线为ｎ次的Bezier曲线。 其中，Bi,n是伯恩斯坦多项式，称为基函数，即 Q(t)=ΣPi Bi,n(t) t∈[0,1] n i=0 Bi,n(t)= ti(1-t)n-i i=0,1……,n n! i!(n-i)! Ｐ0，Ｐ1，Ｐ2， ?Ｐn各点为Q(t)的控制顶点，所组成的多边形为Q(t) 特征多边形。 P0 P1 P2 P3 2．常用Bezier曲线的矩阵表示 1) 一次Bezier曲线：n=1, i=0,1 2) 二次Bezier曲线： n=2, i=0,1,2 Q(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2P2 1≥t≥0 矩阵表示为: 即： Q (t)=(1-t)P0+tP1 Bi,n(t)= ti(1-t)n-i i=0,1……,n n! i!(n-i)! 矩阵表示为： P0 P1 3) 三次Bezier曲线： n=3 ， i=1，2，3 Q(t)=(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3 1≥t≥0 矩阵表示为： 3．Bezier曲线的性质 令T表示参数矩阵，Mb表示常数矩阵，Gb表示位置矢量矩阵。 即：Q(t)=T·Mb·Gb 1）端点位置矢量：把t=0和1代入数学形式中，则有： t=0 Q(0)=P0 ； t=1 Q(1)=Pn 2) 端点切矢量：对曲线表达式求导，对3次曲线则有： Q(t)=[3t2 2t 1 0 ]·Mb·Gb t=0 Q(0)=3(P1－P0)； t=1 Q(1)=3(P3－P2)； 端点处切线长度等于特征多边形首、末边长的n倍。工程上所使用的曲线次数不大于3。 3) 对称性：若保持原全部顶点的位置不变，只是把次序颠倒过来，则新的Bezier曲线形状不变，但方向相反。? 4) 几何不变性：保持顶点相对位置不变，把多边形移动，则新的Bezier曲线形状不变。 5) 凸包性：Q(t)是多边形各顶点Ｐ1,Ｐ2,?Ｐn的加权平均 0≤Bi,n≤1称为权因子。 Bezier曲线Q(t)随控制多边形的变化而变化，其位置和形状只与多边形顶点的位置有关，不依赖坐标系选择 在几何图形上有两重含义 ①曲线各点均落在控制多边形各顶点构成的凸包之中； ②多边形将曲线限制在一定的范围之内，使曲线的形 状控制更加方便 当n=2: B0,2=t2–2t+1 B1,2=–t2+2t B2,2=t2 = t2–2t+1–t2+2t+ t2 =(1-t)2+2t(1-t)+ t2 =[(1-t)+t)]2 采用归纳法证明： 4．Bezier曲线的递推性 P1 P0 1 P1 1 P0 P2 P0