河北工业大学固体物理课件4-2概要1.pptVIP

§4-2 一维周期场中电子运动的近 自由电子近似 晶体中电子与自由电子的区别在于周期势场。 如果假设晶体中有一个很弱的周期势场，则电子的运动情况应当与自由电子比较接近，但同时也必然能体现出周期势场中电子状态的新特点，这样的电子就叫近自由电子。 一维势场 展开式系数 ∵周期场是实的 ∴ 一、定态非简并微扰 由量子力学定态非简并微扰理论可知，定态薛定谔方程 方程的解是 近自由电子哈密顿算符可写成 : 其中 自由电子的哈密顿算符 由量子力学理论可知，一级修正和二级修正分别为 ? E(1)(k) =0 其中微扰矩阵元 零级近似解，就是自由电子的解： 则能量的二级修正为 求和中的撇表示n不为0，但当k与k’互为相反值时，分母为0，导致能量修正值为无穷大。 波函数的一级修正 电子的波函数为 调幅平面波 前进的平面波 受周期势场散射的波 二、 简并微扰法 当满足 时 ∴ 波函数及能量的修正项→∞，前进的平面波遭到了晶格原子的全反射(布拉格)， 反射波相互加强，使入射波受到很强的干涉，此时适用简并微扰法。 由量子力学简并微扰理论，零级波函数为二态（前进波、布拉格反射波）的线性叠加 代入薛定谔方程，得到 讨论：1. Δ=0时， 能量差为2|Vn|,则原来能量相等的两个态的能量不再相等，简并消除，出现禁带。 禁带的出现是周期场作用的结果 同理，由 得到 波函数的特点 电子云驻波分布 由图可知， 这就是在B.Z.边界上能量产生不连续跳跃的原因。 势能之差＝能隙＝2│Vn│ 从自由电子的E~k关系（抛物线）可知， 有显著的差异，在弱周期场的情况下，满足 这时处于非简并的状态，由非简并微扰的能量二级修正和波函数的一级修正可知，其微扰修正项都很小，因此在 波矢远离布里渊区边界时，近自由电子的能量和波函数与自由电子相似。 2.Δ≠0时,k值远离布里渊区边界的情况 3.Δ≠0时,k值接近布里渊区边界的情况 以Δ为变量的开口向上的抛物线 以Δ为变量的开口向下的抛物线 在布里渊区边界附近(Δ→0)，能量E+(k)和E_(k)分别以抛物线形式趋向Tn＋|Vn| 和Tn－|Vn|。 简约区图式 简约波数 由于k 和k+Km 对应的量子态是等价的。在一维情况下，可以把k 分解成 布洛赫函数为 在第一布里渊区外的k，如果用 来标志，可以通过把k 改变一个倒格矢，使它落于第一布里渊区范围， 这样每一个能带各状态对应于在第一布里渊区不同的简约波矢 ；对于同一个 有能量高低不同的一系列状态，分属于能带1，2，····· (a)重复区图式(虚线内为简约区图式) (b)扩展区图式 三、布里渊区和能带 1.布里渊区界面 设发生简并微扰的两个态是 结论：倒格矢的中垂面上即布里渊区边界发生能量突变（断开） 二维正方晶格的布里渊区 面心立方晶格的第一布里渊区