高教版数学教案——三角函数的变换公式.docVIP

三角函数的变换公式 教学目的：掌握同角关系公式，诱导公式，两角和与差公式，倍角公式，半角公式，万能公式，能应用它们进行计算，化简和证明。 教学重点：应用以上公式进行计算，化简和证明。 教学难点：根据题设的特点灵活应用公式，公式的变形和逆向应用。 计划课时：3课时。 教学过程： 一．同角三角函数公式。 1．? ； ； 。 2．? ； 。 3．? ； ； 。 （六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”） 二．诱导公式。 1． ； ； ； 。 2． ； ； ； 。 3． ； ； ； 。 4． ； ； ； 。 5． ； ； ； 。 6． ； ； ； 。 7． ； ； ； 。 8． ； ； ； 。 （诱导公式记忆法：“ 是任意角，在公式中把它看作锐角；奇变偶不变，符号看象限。”奇偶是指90°的奇数或偶数倍，变不变是指互余或同名；符号看象限是把 看作锐角时原角原函数的符号。） 三．两角和与差的三角函数公式。 1．两角和与差的正弦，余弦和正切。 （记忆方法：简记 ； 前后符号相同； 前后符号相反； 分子符号前后相同，分母符号前后相反。） 2．倍角公式。 （简记： ） 3．半角公式。 ； ； 。 （简记： ；符号由 所在的象限对应的原三角函数值确定。） 四．万能公式。 ； ； 。 五．应用题型及解法。 （解三角问题的基本思路有两种： 思路1：从角度入手，尽量减少题中角的种类，弄清角的范围或找出已知角与未知角的关系。 思路2：从三角函数名称入手，尽量做到统一三角函数名称，一般做法是把切割化弦。） （一）同角三角函数关系公式的应用。 1．已知角α的某一个三角函数值，求角α的其他三角函数值。 例题1：已知 ，且α是第三象了限角，求sinα的值。 解法一：（正切 余切 余割 正弦）（直接由已知向所求变化） 因为 ，所以 ，所以 所以 又因为α是第三象了限角 所以 。 解法二：（把已知的“切”化为所求的“弦”再求解。）（间接由已知向所求变化） 因为 ，所以 ，即3cosα=4sinα(1) 又sin2α+cos2α=1(2) 由（1）（2）得： 又因为α是第三象了限角 所以 。 2．三角式的化简或恒等变形。 例题2：求证： 。（本题中三角函数的种类较多，在解答时一般把切割化弦，证明略。） 例题3：已知 ，求 的值。 解：（如果间接求解，因未知角的范围，所以给解题带来很多麻烦） （要直接应用条件“切”，就必须把所求的“弦”化“切”，这时要巧用“1”的代换。） （分子分母同除以 ）= 。 （二）诱导公式的应用。 1．? （步骤为：负角化正角；大于360°的角化0°~360°之间的角；0°~360°之间的角化0°~90°之间的角。） 例题4：求 的值。 解： 。 2．? 例题5：已知 ，求 的值。 解： 。 3．“余角余函”的应用。 例题6：化简 。 解：因为 互余，所以 。 （三）两角和与两角差公式的应用。 1．? 例题7：已知 ，且 均为第四象限角，求 的值。 解：由条件易得： ，所以 。 例题8：已知 都是锐角，且 ，求 的值。 解：易见所求角β是已知角 与 的差，又由已知得 。 2．? 例题9：化简 。 解： 。 （四）二倍角公式的应用。 1．? 例题10：求函数 的最小正周期。 解：（求三角函数的最小正周期的方法是：把三角函数化为 或 ，直接用公式 计算。） 因为 ，所以函数的最小正周期为 。 2．? 一般做法是升幂化去“1”；而式子 一般是把它化为完全平方。 例题11：已知 ，求 的值。 解：（方法一）由 和 求出 ，再用二倍角公式求 的值，这种方法太繁。 （方法二）因为 ，所以 。 （五）万能公式的应用。 （万能公式能将任意角的任意三角函数化为这个角的半角的正切。如果令 ，则可将三角问题化为代数问题。） 例题12：已知 的值。 解： 。 例题13：求证： 。 证明：（本题左边角为 ，右边角为 ，所以解题思路可把 化 ，也可把 化 。）（本题可有四种解法，这里只讲万能公式法）左边用万能公式展开化简即可得右边。过程略。 2