高教版数学教案——三角函数的图象和性质.docVIP

三角函数的图象和性质 教学目的：掌握正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数的图象和性质，能应用它们的图象和性质解决有关问题。 教学重点：正弦函数和余弦函数的图象和性质。求函数 的最小正周期和最大最小值。 教学难点：用正弦函数和余弦函数的图象和性质解决有关问题。 计划课时：2课时。 教学过程： 一． 正余弦和正余切函数的图象。 ??????????? 的图象????????????????????? 的图象 ???????? ?????? 的图象????????????????????? 的图象 二． 正余弦和正余切函数的性质。 ? 定义域 R R 值? 域 R R 周期性 奇偶性 奇函数，图 象关于坐标 原点对称 偶函数，图 象关于 轴对称 奇函数，图象关于坐标 原点对称 奇函数，图象关于 原点对称 单调性 在区间 上单调递增； 在区间 上单调递减。 在区间 上单调递增； 在区间 上单调递减。 在区间 上单调递增。 在区间 上单调递减。 三． 函数 的周期和最值。 1．最小正周期： 。 2．最值：（1）当A0时， ，函数 有最大值A； ，函数 有最小值 。（2）当A0 时， ，函数 有最大值A； ，函数 有最小值 。 四． 应用题型及解答方法。 （一）三角函数的定义域应用。 （一般结合其他函数组合成一个比较复杂的函数，求解时要结合三角函数在各象限的函数值的正负来确定。） 例题1：求函数 的定义域。 解：要使函数 有意义，必须 ，即 。 （二）正弦余弦函数的值域及其应用。 类型1：形如 的函数。其解法是： 解法一：因为 ，又 ，所以由不等式 可求得 即为函数的值域。 解法二：令 ，则 ，所以 ，从而化为一次函数的值域求解。 解法三：直接求解。当 时，最大值为 ；最小值为 。当 时，最大值为 ；最小值为 。 例题2：求函数 的值域。 解：（只用一种方法解，另两种方法让同学去练习。） 因为 ，所以 ，解得 。 类型2：形如 的函数。其解法是：令 ，把原函数化为关于 的二次函数的值域求解。 例题3：求函数 的最大值和最小值。 解：原函数可化为： ，令 ，所以 因为对称轴为 ，所以 当 时，函数 有最小值为 ；当 时，函数 有最大值为 。 （注意：（1）这种类型的函数多时都是以非标准形式出现，此时应先用三角恒等变形化为标准形式；（2）标准形式中的 可用含 的表达式去代换，如： 等；（3）问题的逆向应用。） 例题4：已知函数 的最小值为1，求 的值。 解：令 ，则 ，因为对称轴方程为 ，所以 （1） ，即 时，在 处函数 有最小值 ，解得 ； （2） ，即 时，在 处函数 有最小值 ，解得 （不合题意，舍去） （3） ，即 时，在 处函数 有最小值 ，解得 （不合题意，舍去） 所以，所求的 值为0。 类型3：形如 的函数。其解法是：把函数化为一个角的一个三角函数的形式，从而化为类型1来求解。其方法是： ，其中， 。 例题5：求函数 的值域。 解：因为 ，所以 ，从而，所以函数 的值域为 。 （三）三角函数的单调性的应用。 1．? 例题6：正弦函数在第一象限是单调递增的。这种说法对不对？ 解：不对。正弦函数的递增区间必须是 ，如果两个角不同属这个区间，则会出错。如：取 ，（它们都是第一象限角）显然， ，但是 。所以命题不成立。 2．? 例题7：求函数 的单调递增区间。（学生练习函数 ） 解：令 则原函数化为： 当 时函数单调递增，即当 时函数单调递增，所以 时函数单调递增。 3．? 例题8：比较下列各组值的大小。（1） ；（2） 。 解：（1）因为 ，而 ，又函数 在 上是单调递增，所以 ，即 。 （2）提示： 让学生练习。 （四）三角函数的奇偶性的应用。 （一般与其他函数组合成较复杂的函数，其做法同函数基础知识方法相同，即定义法或拆分法。） 例题9：判断函数 的奇偶性。 解：因为 ，又 则 ，所以函数 既不是奇函数，也不是偶函数。 例题10：判断函数 的奇偶性。 解：函数 可以看作是两个函数 的和，而函数 都是偶函数，所以原函数 也是偶函数。 （五）关于函数 的周期和最值，图象与 图象的关系应用。 1．? 的最小正周期 ，必须先把函数化为此形式。 例题11：求函数 的最小正周期。 解： 所以最小正周期为 。 例题12：求函数 的最小正周期。（提示：用半角公式降次让学生练习。） 2．将函数 的图象横向伸长或缩短原来的 ，纵向不变得到函数 的图象； ??????…纵向伸长或缩短原来的A倍，横向不变得到函数 的图象； 将函数 的图象向左平移 （ 个单位或向右平移 （ 个单位得到函数 的图象； 将函数 的图象向上平移B（B0）个单位或向下平移|B|（B0）个单位得到