D4型箭图的Hall多项式.pdfVIP

第27卷 湖北师范学院学报(自然科学版) VoI．27 第1期 Journal of Hubei Normal University(Natural Science) No．1，2007 D4型箭图的Hall多项式 谢 涛 (湖北师范学院数学系，湖北黄石 435002) 摘要：利用仿射箭图的表示范畴的性质把Hall多项式的计算问题归结到一些矩阵方程的解的个数问题。 用此方法，得到了D 型箭图的不可分解予投射予内射表示的Hall多项式。 关键词：仿射箭图；予投射模；予内射模；Hall多项式 中图分类号：0154 文献标识码：A 文章编号：1009-2714(2007)0l一0001．05 0 引言 以一个有限P一群的同构类为基的自由abelian群可以赋予一个乘法运算，它的结构常数是某些 有限P一群的滤链的个数。由此，我们得到了现在被称之为P—adic整数环的Hall代数。它是一个 有单位元的交换的结合环，并且在代数和组合理论中起着重要作用。受到Hall工作的启发，Ringel于 1990年引人finitary环(如有限域上的有限维代数)的Hall代数(现在称为Ringel—Hall代数)。令人 惊奇的是：有限维遗传代数的Ringel—Hall代数包含一个子代数，即合成代数，它同构于相应Kac— Moody代数的量子包络代数的正部分 ‘。J．经过许多代数学家的努力，现在人们公认Ringel—Hall代 数成为实现量子群的最成功的模型之一。而 Hall多项式作为结构常数在量子群和Lie理论中起着 重要作用。 在文献 [7]中，Ringel运用了向量空间范畴与偏序集的表示理论将表示有限的遗传代数的Hall 多项式的计算问题归结到24种情形(包括赋值情形)。并且利用A—R箭图的组合性质计算出所有 可能出现的非零的Hall多项式。 在Ringel的工作之后，一个很自然的问题被提出来：仿射箭图的Hall多项式会是怎样的?本文 对D 型路代数的不可分解予投射模的Hall多项式作了一番探讨 ，发现了一个不同于有限型遗传代 数的Hall多项式的现象：任给三个不可分解予投射模 、Y、Z，由反射函子的性质，我们可以假定其 中的 是投射单模，则 可以嵌人到无限个予投射模中，这意味着可能有无限多个非零的Hall多项 式。经过我们的研究发现这无限多个 Hall多项式可以用一个统一的公式来表达，即有如下结论： 定理 若Q=D ，则对任意的不可分解予投射(内射)模 ，Y，Z，所有可能出现的非零的Hall多 项式为 =(T一1) (凡≥1)． 1 预备知识 设Q=(Q。，Q )是一个仿射箭图，其中Q。是含有m+1个顶点的集合，Q 是所有箭向的集合． 如果P∈Q 是一个由i指向 的箭向，我们用h 表示 用￡ 表示i．这样，我们得到了两个函数h， 收稿日期：2O06—09—24 作者简介：谢 涛(198O一 )，男，湖北黄石人，硕士，助教。 t：Q 一Q。。有时候，为了讨论的方便，我们也用Q=(Q， )来表示给定了箭向方向 的箭图，其中 Q是Q去掉箭向方向所得到的图。 设 是含有q个元素的有限域，A：= 表示有限域 上的路代数，mod A是有限维的左A模 范畴。Q在域 上的一个有限维表示是这样的一个集合：{( ， )，i∈Q。，P∈Q I 是有限维K一 S i V K i 0 向量空间 ； ：V,一 向量空间之间的线性映射}，称 ()={( i， )I；= ， =o( ≠)， = ， o 。 V|p∈Q }为等表示。用RepQ表示Q的所有有限维表示构成的范畴，我们知道RepQ中的每一个对 象可以等同于mod A中的一个对象。dimV：=(dim Vi)。 Q0称为 的维数向量。在本文中，我们分 别用 和[ ]表示集合 的基数和模 的同构类。没有解释的有关代数表示理论的概念可以参 考文献[1]和[5]． 对于 ，Ⅳ ，…， ∈mod A，我们用F 一 表示M的如下形式