Banach空间中压缩映射的新不动点定理.pdfVIP

2007钲 赣南师范学 院学报 No．6 第六期 Journal of Gannan Normal University Dec．2007 · 基础数学 · Banach空间中压 缩映射的新不动点定理 许绍元 (赣南师范学院数学与计算机科学学院，江西赣州 341000) 摘 要：利用压缩映射的非线性二择一性质，得到了Banach空间中压缩映射的若干新不动点定理，从而推广 了著名的压缩映射Ahrnan定理、Roth定理和Petryshyn定理． 关键词：压缩映射；非线性二择一；不动点；Banach空间 中图分类号：O177．91 文献标识码：A 文章编号：1004—8332(2007)06—0001—04 1 引言与定义 众所周知，压缩映射是一类十分重要的非线性算子，广泛存在于非线性微分方程、非线性积分方程以及 泛函微分方程中，而压缩映射的不动点定理则在研究这些方程的解的存在性方面起着十分重要的作用．因 此，压缩映射的不动点存在性研究，一直引起人们的广泛关注(见文献[1—6])． 设(X，d)，(Y，P)是度量空间 映射A： —y称为一个Lipschitz映射，如果存在一个常数M 0，使得 P(F(x)，F(z)) Md( ，z)对任意 ，z∈X成立，其中满足此条件的最小的M称为A的Lipschitz常数，记为 (A)． 设A： — l，为一个Lipschitz映射，如果 (A)1，则称A为压缩映射．设A：D c —y是一个映射，若 存在 ∈D使得A( )= ，则称 为A在D上的一个不动点． 设E是实Banach空间，C是E的一个闭凸子集，力是的一个相对开子集，0是E的零元，A：力一C是一个 有界压缩映射，我们有下面著名的不动点定理． 定理1．1【1 设0∈力，若下列条件之一成立： (i)(Roth)ll A( )ll ll ll，V ∈012； (ii)(Petryshyn)ll A( )ll ll —A( )ll，V ∈012； (iii)(Ahman)ll A(x)ll ll ll +ll —A( )ll ，V ∈012 则A在力上有唯一的不动点． 本文利用压缩映射的非线性二择一性质，得到了Banach空间中压缩映射的若干新不动点定理，其主要 结果推广了著名的压缩映射Altman定理、Roth定理和Petryshyn定理． 2 主要结果 我们将利用压缩映射的非线性二择一性质，得到了Banach空间中压缩映射的若干新不动点定理． 引理2．1 (非线性二择一)设E是实Banach空间，C是E的一个闭凸子集，力是的一个相对开子集， 0∈ 若A：力一C是一个有界压缩映射，则A必定具有下列两条性质之一： (i)A在力上有唯一不动点； (ii)存在Y。∈a 和A 1使得 A(Y0)=hy0． (2．1) 由引理2．1可以得到Banach空间中压缩映射的若干新不动点定理． 定理2．1 设E是实Banach空间，C是E的一个闭凸子集，力是的一个相对开子集，0∈ 若A：力一C · 收稿日期：2007—06—13 基金项目：江西省自然科学基金项目(No．0611005) 作者简介：许绍元(1964一)，男，湖北武汉人，赣南师范学院数学与计算机科学学院教授、博士后，主要从事非线性泛函分析与分形几 何的研究． 2 赣南师范学院学报 2007年 是一个有界压缩映射，并且存在 1， 0使得 ll A 一 0。≥ 0 A ll。 0 ll 一0 0。，V E Og2， (2．2) 则A在 上有唯一不动点。 证明 若算子A在 上没有唯一不动点，由引理2．1，存在 。∈ 以及／Zo 1使得A =／ZoXo。