矩阵论课件Matrix1-1线性空间与线性变换.ppt

矩阵论  Matrix Theory 第1章：线性空间与线性变换 §1.1 线性空间 ～ 向量空间 R n 要点：空间的代数与几何结构，与向量空间R n 的关系 §1.2 内积空间 ～ 向量空间 R n 要点：线性空间中向量的度量，R n中的内积的推广 §1.3 线性变换 ～ 矩阵空间 R m?n 要点：线性空间之间的映射（线性映射），与矩阵空间Rm?n的关系 适当复习线性代数的相关知识！！！ 第1章：线性空间与线性变换 内容概述： 线性空间的一般概念 重点：空间的代数与几何结构，度量，与向量空间R n 的关系 线性变换 重点：矩阵处理方法，与矩阵的关系 特点： 研究代数结构——具有线性运算的集合 研究几何结构——空间的维数和基 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理 学习特点：具有抽象性和一般性 1.1 线性空间 一、线性空间的概念 n 维向量空间Rn (R2，R3): 结构, 表示, 运算, 度量等 Rn到线性空间的推广思想： 抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。 线性空间的定义（定义1.1（P 1）） 三要素： V(F), 加法与数乘, 运算性质 集合V与数域F 向量的加法和数乘向量运算 运算性质的公理定义（8条）和特殊元素 数域：四则运算封闭的数集，本身就是线性空间（自身上的）！如有理数域Q，实数域R ，复数域C等。 常见的线性空间 F n={ X = ( x1，x2，…，xn )T：xi ?F } 运算：向量加法和数乘向量 R n ；C n F m?n = { A=[aij]m?n：a ij?F }； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 R m?n ；C m?n Pn [x] = { ：ai?R } （n-1阶多项式空间） 运算：多项式的加法和数乘 C[a，b] = { f (x)：f (x) 为 [a，b] 上连续(实)函数 } 运算：函数的加法和数乘 (还有C1[a，b]等 ) 不一样的线性空间：V=R+，F=R，a ? b = ab，? ? a = a ? F=R或C 线性空间？ 例子：次数为n-1的实多项式集合： { ：ai?R，且 an-1不为零 }； 平面上不过原点的直线上的点的集合，如V={ (x1, x2)： x1, x2 ?R，且 x1+ x2 =1 }； 空间中不过原点的直线或平面上的点的集合。 不是线性空间的例子与判别 例子：次数为n-1的实多项式集合： { ：ai?R，且 an-1不为零 }； 平面上不过原点的直线上的点的集合，如V={ (x1, x2)： x1, x2 ?R，且 x1+ x2 =1 }； 空间中不过原点的直线或平面上的点的集合。 判别：如 向量加法或数乘不封闭； 不含特殊元素； …… 线性空间的抽象 线性空间的一般形式： V (F) ， V中元素被统称为向量：?， ?，?，? 线性空间的简单性质（共性）： 定理1.1 V (F) 具有性质： （1） V (F)中的零元素是惟一的。 （2） V (F) 中任何元素的负元素是惟一的。 （3）数零和零元素的性质： 0?=0，k0=0，k? =0 ? ?=0 或 k=0 （4） ? ?= （?1）? 数0 向量0 二、线性空间的基和维数 向量的线性相关与线性无关： 定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。 例题1 证明C[0，1]空间中的向量组 {ex，e2x，e3x …，enx}，x?[0，1] 线性无关。 基与维数的概念(P 3) 定义1.2 设V(F)为线性空间，若存在一组线性无关的向量?1，?2，…，?n，使得V中任一向量均可由其线性表示，即任给? ，存在F中数组{ x1，x2，…，xn }，使得 ? = x1 ?1 + x2 ?2 + x3 ?3 +…+ xn ?n， 则称向量组{ ?1，?2，…，?n }为V的一组基，基中所含向量的个数称为V的维数，记为