矩阵论课件Matrix1-2子空间 Subspace.ppt

§1.1 五、 子空间 Subspace 概述：线性空间Vn(F)中，向量集合V的子集合可以有集合的运算和关系： W1 ，W2 ?V: W1?W2， W1?W2， 问题：这些关系或运算的结果是否仍然为线性空间 ？空间的分解（子空间表示）？ x2 x1 o R2 W2 W1 W4 W3 R2 = W3+W4 x2 x1 o W4 W3 ·(x1, x2) (0, x2) (x1, 0) 1、 子空间的概念 定义1.5：设集合W ? Vn(F)，W ? ?，如果W中的元素关于Vn(F)中的线性运算也构成线性空间，则称W是Vn(F)的一个子空间。 任何线性空间Vn(F)，均有两个平凡子空间： Vn(F) 和 ｛0｝(零元素空间, 规定维数为0) 判别方法：定理1.5 W是子空间 ? W对Vn(F)的线性运算封闭。 子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别某些线性空间的方法。 A?R n中集合：如前例（图示）中的集合及一般化 A?F n×n中集合 W1 = { A?Fn×n ?AT =A }， W2 = { A?Fn×n ?AT= –A }， W3 = { A?Fn×n ?|A| = 1 }。 例 14 R n ，R m×n的集合是否为子空间？ 几个重要的子空间（例15，16）： 设向量组{ ?1，?2，···，?m } ? Vn(F)，由它们的所有线性组合生成的子空间： L{ ?1，?2，···，?m } = { } 矩阵A?F m×n，两个子空间： A的零空间：N(A) ={ X?Fn ：AX=0 }? F n， A的列空间(值空间)： R(A) = L{ A1，A2，···，An }? F m， Ai为A的第i列。 R(A) =｛y ：? x? F n, y = Ax｝ 2、子空间的运算：“交空间”与“和空间” 讨论：设W 1? Vn(F)，W2 ? Vn(F)，且都是子空间，则W1?W2和W1?W2是否仍然是子空间？ （1）交空间 交集： W1?W2=｛?? ??W1 而且 ??W 2｝?Vn(F) 定理1.6 (1) W1?W2是子空间，被称为“交空间” （2）和空间 集合的和集： W1＋W2=｛?=X1＋X2?X1?W1，X2?W2｝， W1?W2 ? W1＋W2 定理1.6 (2) W1＋W2是子空间，被称为“和空间”。 W1?W2一般不是子空间，W1?W2 ? W1＋W2 例17 设R3中的子空间W1=L{e1}，W2=L{e2} 求和空间W1＋W2。 比较：集合W1?W2和集合W1＋W2。 如果 W1 = L{ ?1，?2，…，?m }， W2 = L{ ?1，?2，…，?k }， 则 W1＋W2 = L{ ?1，?2，…，?m，?1，?2，…，?k } 3 、维数公式 子空间的包含关系： dimW1?W2 ? dim Wi ? dimW1＋W2 ? dimVn(F)。 定理1.7（维数定理） dimW1＋dimW2 = dim(W1＋W2) ＋ dim(W1?W2) 证明思路：基扩充方法（从W1?W2的基出发） 4 、子空间的直和（空间分解） 分析 由维数公式知，如果 dim（W1?W2）?0，则 dim（W1＋W2）? dimW1＋dimW2 所以, dim（W1＋W2）= dimW1＋dimW2 ? dim（W1?W2）= 0 ? W1?W2 = {0} 直和的定义： 定义1.6 设W = W1＋W2 , 若dim（W1?W2）= 0 ，则称此和为直和，称W为W1和W2的直和子空间，记为 W = W1?W2。 子空间的“和”为“直和”的充要条件 定理1.8 设W=W1＋W2，则下列各条等价： （1）??? W=W1?W2 （2）??? ? X ?W，X=X1＋X2的表示是惟一的 （3）??? W中零向量的表示是惟一的 （4）??? dim W = dimW1＋dimW2 证明：循环证法 (1)→(2) →(3) →(4) →(1) 例1