矩阵论课件Matrix5-2矩阵函数.pdf

§5.5 矩阵函数 一、定义和性质 1 定义5.14 ∞ (p125) k f （z ）= a z 是解析函数，收敛半径为R，如果 ∑ k ∞ k 0 k ρ(A) R， 则 a A 有意义。 ∑ k k 0 ∞ a A k 定义f （A ）= ∑ k k 0 常见的矩阵函数 (p125) eA ，cosA ，sinA ，ln(I+A) 函数eA 的若干性质： A B B A A+B 1. AB=BA ，e e = e e = e ， 2. e0 =I A –1 – A 3. （e ） = e 。 A 例题5、设A 为反对称矩阵，证明e 为正 交矩阵。 ⎡3 ⎤ ⎢0 2 ⎥ 例题6 设 ⎢⎢2 −3 ⎥⎥，讨论 lnA 是否 A 1 0 有意义 ⎢ 2 ⎥ 0 0 ⎢1 ⎥ ⎢⎣ ⎦⎥ 二、矩阵函数的计算 ∞ a A k 计算f （A ）= ∑ k k 0 1、Jordan标准形方法: A=P J P –1 ，f(A)=Pf(J)P – 1 ; ⎡ ′ f ( ( k )1 ) − λi ⎤ f ( ) λf ( ⎢) λi i L ⎥ 计算矩阵序列：S （J ） ⎢ ( k 1 − )! ⎥ n O M f ( J ( i i λ)) ⎢ f ( ) λi ⎥ 按元素收敛求得： ⎢ O ′ ⎥ ⎢ f ( ) λi ⎥