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复旦大学 管理学院 数学分析上 期末考卷.pdf
1. (5 × 4) (1) lim x √x2 + 1 − x. x→+∞ √ 2 x √x2 + 1 − x√x2 + 1 + x √ lim x x + 1 − x = lim x→+∞ x→+∞ x2 + 1 + x x 1 √ = lim = x→+∞ x2 + 1 + x 2 tan x − sin x √ (2) lim 3 . x→0 1 + x − 1 tan x − sin x tan x(1 − cos x) x3 √ √ lim = lim 2 · = 1 x→0 1 + x3 − 1 x→0 x · x 2 1 + x3 − 1 2 (3) y = ex cos x y(4) . (4) x x x x x (4) y = e cos x + 4e (cos x) + 6e (cos x) + 4e (cos x) + e (cos x) x x x = e (cos x − 4 sin x − 6 cos x + 4 sin x + cos x) = e (−4 cos x) = −4e cos x x4 −2x (4) d 1 + et2 dt. dx 1+x3 4 x −2x d 1 + et2 dt = 1 + e(x4 −2x)2 4x3 − 2 − 1 + e(1+x3 )2 3x2 dx 1+x3 3 (x4 −2x)2 2 (1+x3 )2 = 2(2x − 1) 1 + e − 3x 1 + e 2. (5 × 4) (1) x4 2 dx. 1 + x x4 dx = x4 + x2 − x2 − 1 + 1 dx = x2 dx − dx + dx 2 1 + x2 x2 + 1 1 + x 3 = x − x + arctan x + C 3 (2) √ x2 dx. 2 − x √ 2
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