湘潭大学刘任任离散数学答案习题21.docVIP

习题二十一 1.某年级有100个学生,其中40个学生学英语,40个学生学俄语,40个学生学日语.若分别有21个学生学习上述三种语言中的任何两种语言,有10个学生所有3种语言.问不学任何语言的学生有多少个? 解：用A1、A2、A3分别表示学英语、学俄语、学日语的学生集合，S表示总学生集合，则问题变成求，利用逐步淘汰公式，分别求， ， ，所以由逐步淘汰公式 2.有多少个小于70且与70互质的正整数? 解：由于70=2×５×７，所以该题也就变成了，求所有小于７０的并且不能被２，５，７整除的正整数的个数。设、、分别表示1到７０之间能被２、５、7整除的整数之集合.于是,问题变成求.利用逐步淘汰公式,先分别求: 其中表示对取整,下同: 其中表示与的最小公倍数. 代入公式(21.1)得: 3.在由10个数字位组成的三进制序列中,有多少个至少出现一个0,一个1和一个2的序列? 解：设只出现0、1、2中任意i位数的三进制数的个数为N(i)个，个，而。故0、1和2都出现的数字共有那么显然 现在考虑，因6个会德语的人都会另一种语言，其中5人会西班牙语，那么另一人肯定会法语。又5个会西班牙语的人中也有两个会法语。所以。有公式（4-1） 即不会外语的有5人。 5.求的没有偶整数在它的自然位置上,即不在第位置上的排列个数. 解 S的所有排列个数是，有个偶数出现在其自然位置上而其余个数不加限制的排列数为。此外，个偶数有种不同选法。代入对称筛选式得 6.求的恰有4个整数在其自然3位置上的排列个数. 解 在其自然数位置上的4个数有种选法。余下的不在其自然位置上的4个数有种排法。于是答案为 7.试用组合推理解释恒等式 解的排列可分别成下列情况： 没有一个数载其自然位置上的排列数位。 恰有个数载其自然数为。 有的所有排列的个数为，根据加法原理得 8.试证: 是一个偶数当且仅当是一个奇数. 证 命题等价于是奇数时是偶数，是偶数时是奇数。用归纳法证明。 因为归纳基础成立。 假定对任一是奇数，是偶数时命题成立。 那么是奇数 是奇数 是偶数 命题得证 9.个人参加一晚会,每人寄存一顶帽子和一把雨伞,会后各人任取一顶帽子和一把雨伞,有多少种可能使得没有人能拿回他原来的任何一件物品? 解 因为人和帽子都是有区别的，每人随便地戴一顶帽子相当于顶帽子的一个重排。这些重排的个数为。而没有一个人戴上自己原来的帽子恰是错置，错置数为 没有人拿回自己原来的帽子有种可能。没有人拿回自己原来的伞也有种可能。这两件事情是互相无关的。因此答案为。