3.4 基本不等式练习题与答案解析 必修5.doc

1．若xy＞0，则对eq \f( x,y)＋eq \f(y,x)说法正确的是(　　) A．有最大值－2　　　　　　 B．有最小值2 C．无最大值和最小值 D．无法确定 答案：B 2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是(　　) A．400 B．100 C．40 D．20 答案：A 3．已知x≥2，则当x＝____时，x＋eq \f(4,x)有最小值____． 答案：2　4 4．已知f(x)＝eq \f(12,x)＋4x. (1)当x＞0时，求f(x)的最小值； (2)当x＜0 时，求f(x)的最大值． 解：(1)∵x＞0，∴eq \f(12,x)，4x＞0. ∴eq \f(12,x)＋4x≥2eq \r(\f(12,x)·4x)＝8eq \r(3). 当且仅当eq \f(12,x)＝4x，即x＝eq \r(3)时取最小值8eq \r(3)， ∴当x＞0时，f(x)的最小值为8eq \r(3). (2)∵x＜0，∴－x＞0. 则－f(x)＝eq \f(12,－x)＋(－4x)≥2eq \r(\f(12,－x)·?－4x?)＝8eq \r(3)， 当且仅当eq \f(12,－x)＝－4x时，即x＝－eq \r(3)时取等号． HYPERLINK / 新 课 标 第 一 网 ∴当x＜0时，f(x)的最大值为－8eq \r(3). 一、选择题 1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是(　　) A．x＋eq \f(1,2x) B．x2－1＋eq \f(1,x2－1) C．2x＋2－x D．x(1－x) 答案：C 2．函数y＝3x2＋eq \f(6,x2＋1)的最小值是(　　) A．3eq \r(2)－3 B．－3 C．6eq \r(2) D．6eq \r(2)－3 解析：选D.y＝3(x2＋eq \f(2,x2＋1))＝3(x2＋1＋eq \f(2,x2＋1)－1)≥3(2eq \r(2)－1)＝6eq \r(2)－3. 3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是(　　) A．200 B．100 C．50 D．20 解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立． 4．给出下面四个推导过程： ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2； ②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2eq \r(lgx·lgy)； ③∵a∈R，a≠0，∴eq \f(4,a)＋a ≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4； HYPERLINK / w w w .x k b 1.c o m ④∵x，y∈R，，xy＜0，∴eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－[(－eq \f(x,y))＋(－eq \f(y,x))]≤－2eq \r(?－\f(x,y)??－\f(y,x)?)＝－2. 其中正确的推导过程为(　　) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑． ①∵a，b∈(0，＋∞)，∴eq \f(b,a)，eq \f(a,b)∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②虽然x，y∈(0，＋∞)，但当x∈(0,1)时，lgx是负数，y∈(0,1)时，lgy是负数，∴②的推导过程是错误的； ③∵a∈R，不符合基本不等式的条件， ∴eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4是错误的； ④由xy＜0得eq \f(x,y)，eq \f(y,x)均为负数，但在推导过程中将全体eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)提出负号后，(－eq \f(x,y))均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确． 5．已知a＞0，b＞0，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋2eq \r(ab)的最小值是(　　) A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．5 解析：选C.∵eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋2eq \r(ab)≥eq \f(2,\r(ab))＋2eq \r(ab)≥2eq \r(2×2)＝4.当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝b,\r(ab)＝1))时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取得最小值4. 6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有(　　) A．最大值64 B．最大值eq \f(1,64) C．最小值64 D．最小值eq \f(1,64) 解析：选C.∵x、y均为正数， ∴xy＝8x＋2y≥2eq \r(8x·2y)＝8eq \r(xy)， 当且仅当8x＝2y时等号成立． ∴xy≥64. 二、填空题 7．函