二、双曲线的几何性质.docVIP

双曲线的几何性质 教学目标： 知识目标： 1、使学生理解并掌握双曲线的几何性质，并能从双曲线的标准方程出发，推导出这些性质，并能具体估计双曲线的形状特征。 2、了解双曲线中心、实轴、虚轴、渐近线等概念，以及 、 的关系及其几何意义。 3、了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。 能力目标： 培养学生数形结合，方程与函数结合的意识和能力，提高学生运用类比，归纳的方法构建新的数学知识的能力。 情感目标： 运用现代多媒体教学手段，揭示“数”和“形”的内在联系，体会数与形的统一美，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索的精神。 教学重点： 通过方程研究双曲线的几何性质 教学难点： 双曲线的渐近线证明 教学流程： (一)复习引入 1. 双曲线的定义及其标准方程 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（大于0且小于）的动点的轨迹叫双曲线。即（02） 焦点在轴上时： 焦点在轴上时： (注：双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置) 的关系：（符合勾股定理的结构）, ,最大，可以 2.椭圆的简单几何性质 以为例 ⑴范围： ⑵对称性：以坐标轴为对称轴，原点为对称中心 ⑶顶点坐标： 长轴：线段长为2，叫做长半轴长 短轴：线段长为2，叫做短半轴长 ⑷离心率： 探究：类比椭圆几何性质的研究，你认为应研究双曲线的哪些性质？应如何研究这些性质？ （二）新课讲解 利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质 以焦点坐标在轴上的标准方程为例， 1．范围 由标准方程可得，即，当时，才有实数值，这说明双曲线在不等式与所表示的区域内；对于的任何值，都有实数值 这说明从横的方向来看，直线之间没有图象，从纵的方向来看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 2.对称性：类比研究椭圆对称性的研究方法，容易得到，双曲线关于轴、轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. 2．顶点 讲解：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程中，令得，故它与轴有两个交点 ，且轴为双曲线的对称轴，所以为其对称轴的交点，称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段叫做双曲线的实轴，它的长是2. 在方程中令得，这个方程没有实数根，说明双曲线和轴没有交点。但轴上的两个特殊点，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段叫做双曲线的虚轴，它的长是，要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆 顶点： 实轴：线段长为2，叫做半实轴长 虚轴：线段长为2，叫做虚半轴长 双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，这是两者的又一差异 4．渐近线 过双曲线的两顶点，作轴的平行线，经过作轴的平行线，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是（或）. 从几何画板上观察，当双曲线上的动点随着其横坐标的增大，点到直线的距离不断变小.又因当双曲线在第一象限时，即时，双曲线可转化为，这也意味着双曲线的函数图像永远在的图像的下方.这两方面说明了直线和双曲线在随着的增大而无限靠近，我们把这两条直线称为双曲线的渐近线，这是圆锥曲线中双曲线所特有的几何性质. 5.离心率 双曲线的实轴长2和焦距2的比值称为离心率，又因，所以 探究：类比椭圆的离心率，它的大小反应了椭圆的扁平程度，那么双曲线的离心率又可以客观的反应双曲线的什么几何性质呢？ 借助几何画板，通过改变或的大小，观察离心率改变的同时双曲线的开口是如何改变的.直观感到，离心率变大，双曲线的开口变大，反之，变小.下从理论角度给出说明. 是双曲线的一条渐近线的斜率，当斜率变大，从图形上看，双曲线的开口在变大，反之，开口在变小，这一方法，结合图像，更容易理解离心率和双曲线开口的关系. 等轴双曲线 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线 结合图形说明：时，双曲线方程变成(或，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角,其离心率等与 探究：学完焦点在轴上的双曲线的几何性质，你能用这些性质较准确的画出双曲线的草图吗？请画出焦点在轴上的双曲线的草图，并写出它的几何性质 方程为 1. 范围: 2. 对称性：以坐标轴为对称轴，原点为对称中心 3. 顶点： 实轴：线段长为2，叫做半实轴长 虚轴：线段长为2，叫做虚半轴长 4. 渐进线：方程为 5. 离心率： （三）例题讲解 例1.写出双曲线方程的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程 （分析：此方程不是双曲线的标准方程，应先将方程转化成标准形式） 解：因为双曲线方程为，所以 实轴长为10，虚轴长为14，顶点