第3章 集合的基本概念和运算.ppt

第三章 集合的基本概念和运算 §3.1 集合的基本概念 §3.2 集合的基本运算 §3.3 集合中元素的计数 §3.4 例题分析 §3.1 集合的基本概念 用大写英文字母A，B，C，···表示集合 用小写英文字母 a，b，c，··· 等表示元素 a?A：表示 a 是A的元素，读作“a 属于 A” a ?A：表示 a 不是A的元素，读作“a 不属于A” 注意： ① 集合中的元素不规定顺序 如：C={2,1}={1,2} ② 集合中的元素各不相同。 如：C={2,1,1,2}={2,1} ③ 集合的元素也可以是一个集合 如A={ a，{1,2}，b，{b} } a ? A; {1,2}?A; 1?A; ④ 集合的元素可以是具体事物，可以是抽象概念，也可以是集体，不是集合的元素称为本元。如，一本书，一支笔，集合{1,2,3}可以组成集合B={一本书，一支笔，{1,2,3}} 。特别地，以集合为元素的集合称为集合族或集合类如A={{1,2,3}, { 8,9,6}}。 ⑤ 集合中元素之间可以有某种关联，也可以彼此毫无关系。 11. 列举法 ——将集合中的元素全部列出，写在花扩号内，元素间用“，”隔开。 例 A = { a，b，c，d } B = {1，2，3，…} 2．描述法(谓词表示法) ——将集合元素的条件或性质用文字或符号在花括号内竖线后面表示出来。 例 S1={ x| x 是正奇数} S2={ y| y = a 或 y = b } A= {x| x是中国的省名} C={(x,y)|(0 ? x ? 1)∧(0 ? y ? 1)} 则，C表示平面上一个正方形区域。 B={ x | P(x) } B 由使得 P(x) 为真的 x 构成 几类特殊集合 ● 全集 E 定义：包含所讨论的所有集合的集合，称 之为全集，记作E。 实际上，就是论域。 它的文氏图如右图。 由于讨论的问题不同， 全集也不同。所以全集不唯一。例如， 若讨论数，可以把实数集看成全集。 若讨论人，可以把人类看成全集。 由于论域内任何客体x都属于E， 所以x∈E为永真式。所以需要用永真式 定义E。 E={x| P(x)∨?P(x)} 性质：对于任何集合A，都有A?E。 N={0,1,2,3,···}，即自然数集合。 Z={···,-2,-1,0,1,2,3,···}，即整数集合。 Z+={1,2,3,···}，即正整数集合。 Q=有理数集合。 R=实数集合。 C=复数集合 注意 0 是自然数. 集合间有两种关系：包含关系和相等关系 １．包含关系 定义３,1 设A和B是任意两个集合，则 （1）若集合A中任一元素均属于B，则称B包含A，或A为B的子集，记作 A?B 或 B?A。 A?B ? ?x(x?A?x?B) （2）若A中至少有一元素不属于B，则记为A?B。 A?B ? ?x(x?B∧x?A) （3）若B包含A且B中至少有一元素不属于A，则称A是B的真子集，记为 A?B。 A?B ? ?x(x?A?x?B)∧?x(x?B∧x?A) 定义3.2 设A、B是任意两个集合，若集合 A 与 B 有：A?B且B?A，则称A、B相等，记为A=B。 A=B ? ?x(x?A?x?B) 定义3：一个集合，如果它能包括我们所考虑的目标之内的所有元素，则此集合称为全集。记作 E 。 显然，对任意集合 A 有： ? ? A ? E 集合的相等与包含关系具有以下性质： 设A、B、C为任意集合，则： 自反性：A?A 传递性：若A?B且B?C，则A?C 反对称性：若A?B 且B?A，则 A = B 若 A?B 且 A?C ，则 B?C A={ a, {b,c}, d, {{d}} } 注意： ?与{?}是不同的。 {?}是以?为元素的集合， 而?没有任何元素，能用?构成集合的无限序列： (1) ?，{?}，{{?}}，··· 该序列除第一项外，每项均以前一项为元素的集合。 (2) ?，{?}，{?，{?}}，··· 该序列除第一项外，每项均以前面各项为元素的集合。它即是冯·诺依曼在1924年使用空集?给出自然数的集合表示： 0:=?，1:={?}，2:={ ?,{?}}，··· 计算方法 Ａ＝{a,b,c} 则 P(A)={Φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}