二维连续型随机变量函数的概率密度.pdfVIP

维普资讯 北 京 航 空 航 天 大 学 学 报 JournalofB州 UniversityofAeronauticsandAstronaun 1990年 第 2期 №2 1980 二维连续型随机变量函数的概率密度 郭绍建 (应用敦理暴) 摘 要：车文利用分布 函数与概率密度之间的关系，以曲线积分为工具，导出随 机变量 z=9(X，y)的概率氇厦 的一般公式。然后对概率统计 中的一些重要分布给予 比较简单 的证 明。 关键调 ：二维连续型随机麦量，函数，概率密度 ，分布函数，曲线积分。 0 前 言 设 (j【，y)是连续型随机变量，它的概率密度为 ，(，，)。Z=ff(X，y)是随机变量 x，y的函 数 ·如何计算随机变量z的概率密度，这是概率统计中常常会遇到和需要解决的问题 。解决问 题的基本思想方法是：先求随机变量 z的分布函数 ， (=)=P{z≤=)Ⅱm，)捌 ● -I)‘ ‘ 然后对分布函数 (z)求导数得到 z的概率密度 ^ ()一 (=) 如果适当地引进 x，y的一个新的函数 z =‘，。(x，y)，那么还可以利用上述基本思想方 法，先求出z与 z。的联合概率密度 (，f)，然后再根据边沿概率密度与联合概率密度之间的 关系，求得z；F(x，y)的概率密度 )=仁 ，I)出 本 文主要根 据求概率密度的基本思想方法 ，以曲线积分 为工具，导 出关 于随机变 量 z=g(j【，y)的概率密度的一般计算公式 。 r l 计算公式 定理 l 设二维随机变量 (j【，y)的概率密度为，0，，)．若对任意实数z，函数 (z，，)一 满 足下述条件 本文于 19B8年 5月 12日收到 ·72 · 维普资讯 1) gCz，)一 关于 存在唯一解 ，=^(z，2)， 2) 关于 z连续 (连续的条件可减弱为分段连续，以下亦同)。 则随机变量 ，y的函数 Z=g(X，y)的概率密度为 ，z。)=Lr)_f(x,y 血 (1) 即Z=g(X，y)的概率密度就等于 ，y)的概率密度，0，)与ll之乘积沿曲线 ：(，)一 对坐标 z的曲线积分 。其中积分路径 f的方 向规定为：点 (z，，)沿 曲线 移动时 ，使积分变量 z增 加的方向(以下积分路径方向的确定方法相同)。罢由，=^0．)确定。 证明 设对任一实数 ，函数 g(z，)= 关于 It的唯一解 y=h(x，2)，它的图象如图l所示 曲线 ，它把 螂f平面分割成两部分。 若 曲线 左边的半平面区域 为D：(z，)≤ ，则Z=g(z，，)的 分布函数为 ()一P{z≤ )一 P{g ，，r)≤ 2) ． 一J一^cr，) 广r = ll，0，v)d~y ‘| 一 一 ， ． 化上述二重积分为二次积分得 ． cz==