有限元分析——平面问题.pptVIP

江西五十铃发动机有限公司 技术中心 /33 江西五十铃发动机有限公司 /33 技术中心 * 平面问题的有限元法 主讲人：杨红林 2014.09.16 * 目录 一、平面问题的定义 1、平面应力问题 2、平面应变问题 二、平面问题有限元法 1、结构离散 2、三角形单元分析 3、整体分析 总体刚度矩阵 4、非节点载荷移置 5、边界条件处理 求解 三、简单算例 * 一、平面问题的定义 1、平面应力问题 平面应力问题满足以下两个条件。 (1)几何条件 结构是一很薄的等厚度薄板； (2)载荷条件 作用于薄板上的载荷平行于板平面、沿厚度方向均匀分布，而在两板面上无外力作用。 Y X Z O t 结论：板面不受力，则有 σZ Z= + t/2 =0 τYZ Z= + t/2 =0 τZX z= + t/2 =0 因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整个板内各点都有 σZ=0 τYZ=0 τZX=0 根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为 图1 平面应力问题 * σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T d=[μ ν]T 它们仅为x、y的函数而与z无关。 2、平面应变问题 满足以下两个条件的弹性力学问题为平面应变问题。 (1)结构是长柱体，横截面沿长度方向不变； （2）载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布、两端不受力。 Z Y X O t 图2 平面应变问题 结论：结构不能发生沿Z轴方向的位移，则有 ω=0 μ=μ(x,y) ν=ν(x,y) * 根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为 D= 而平面应力问题的弹性矩阵为 D= * 二、平面问题有限元法 1、结构离散 结构离散化过程： 连续体结构 有限单元的结合体 代替原连续体 平面问题用二维区域表示 可用不同形状的单元，此处用三角形单元 离散 * 2、三角形单元分析 ⑴单元位移模式 形函数 根据位移函数选择方法，三节点三角形单元的位移函数 μ=μ(x,y)=α1+α2x+α3y ν=ν(x,y)=α4+α5x+α6y O Y X 节点1(x1,y1) μ1 ν1 节点2(x2,y2) μ2 ν2 节点3(x3,y3) μ3 ν3 图3 三节点三角形单元 将三个节点的位移代入，整理得 α1= α2= α3= * α4= (ɑ1ν1+ɑ2ν2+ɑ3ν3) α5= (b1v1+b2v2+b3v3) α6= (c1v1+c2v2+c3v3) 其中 A= ɑ1= b1=- c1= (1,2,3) 上式表示下标轮换，即1 2，2 3，3 1同时更换。 * 重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有 其中形函数矩阵为 N= 其中 Ni= (ɑi +bix + ciy) ，i=1、2、3。 ⑵单元的应变与应力 单元应变 ε=B qe 式中应变矩阵B为 B= 节点位移列阵qe qe=[u1 v1 u2 v2 u3 v3]T * 单元应力 σ=Dε=DBqe ⑶单元分析 单元刚度矩阵 根据虚位移原理，可得单元刚度方程 Fe=Keqe 其中单元刚度矩阵为 Ke= 对于三节点等厚三角形单元，B、D均为常数矩阵，则单元刚度矩阵可表示为 Ke=BTDBtA 3、非节点载荷移置 有限元模型是一组仅在节点连接、仅靠节点传力、仅受节点载荷、仅在节点处受约束的单元组合体。只有节点是可以承受载荷与约束的。 ⑴集中力的移置 单元内任意一点作用集中力 P=[Px Py]T * 1 2 3 P Px Py R1X R1Y R2X R2Y R3X R3Y Y X