有限元分析——杆系系统计算.pptVIP

* * * * * * * * * * 江西五十铃发动机有限公司 技术中心 /33 江西五十铃发动机有限公司 /33 技术中心 * 杆系结构的有限元法 主讲人：杨红林 2014.07.25 * 目录 一、杆系结构的概念与分析原理 1、杆系结构定义 2、杆系结构离散与单元分析 3、平面杆单元的坐标变换 4、整体刚度矩阵的组装 5、整体刚度方程的求解 二、杆系结构算例 1、阶梯直杆算例 2、桁架结构算例 * 一、杆系结构的概念与分析原理 1 、杆系结构的定义 由 有限根杆件在它们的端点处相互连接而成的结构。 2 、杆系结构的离散与分析 一般原则：杆系的交叉点、边界点、集中力作用点、杆件截面尺寸突变处等都应设置节点，节点之间的杆件即构成单元。 如图为桁架结构 * F 节点1 节点2点2 单元① F 节点3 节点2 单元② 如图为阶梯直杆的离散 对其中一个杆单元进行分析，设所需要的参数如下图： 根据势能变分原理，它的刚度矩阵为： * 单元的刚度方程为： 其中 为节点力列阵； 为节点位移列阵。 3 、平面杆单元的坐标变换 工程实际中，整体坐标系和局部坐标系要相互转化。如下进行推导分析： * 平面杆单元的坐标变换 局部坐标系中的节点位移为： 整体坐标系中的节点位移为： 两个坐标系下的等价变换关系为： * 写成矩阵形式为： 为坐标变换矩阵，即 下面推导整体坐标系下的刚度方程，根据势能变分原理可得单元势能为： * 为整体坐标系下的单元刚度矩阵， 为整体坐标系下的节点力列阵，即： 由最小势能原理，对待定的节点位移列阵取极小值，可得到整体坐标系下的刚度方程 4、整体刚度矩阵的组装 将所得到的各单元的刚度矩阵按节点编号进行组装，可得整体刚度矩阵，即K= K1 + K2 + K3 + K4 + K5 + … …。组装步骤如下： （1）计算局部坐标系下各个单元的刚度矩阵； （2）计算各单元从局部坐标系到整体坐标系的转换矩阵； （3）计算整体坐标系下各单元刚度矩阵； （4）“对号入座”组装成整体刚度矩阵。 5、整体刚度方程的求解 由于整体刚度矩阵是奇异的，它的行列式为零，不能立即求逆；整体分 * 若结构的某些节点位移值为零时（即与刚性支座连接点的位移），则可将总体刚度矩阵中相应的行列删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解。这种方法的优点是道理简单。如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小。例如整体刚度方程为： 去行去列法 析时，结构处于自由状态，在节点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移，不能通过平衡方程唯一地解出节点位移，故需处理边界条件。方法有删行删列法、分块法、对角元素置一法、乘大数法。 边界条件为： ，根据边界条件去行去列，如上图， * 二、杆系结构算例 1、阶梯直杆算例 算例一： 求解所示阶梯直杆的力学参量，材料参量和参数为： 则去行去列后有： 这样就求得节点位移，进而可求支反力、单元应变和单元应力等。 * 图1：三连杆结构的受力状况 1）节点编号和单元划分 图2：各单元的节点位移和外力 2）计算各单元的单元刚度方程 单元①的刚度方程为： 单元②的刚度方程为： 单元③的刚度方程为： 3）组装各单元刚度方程 整体结构由各个单元按一定连接关系组合而成。 * 就是节点1、2、3、4上的合成节点力。即 由已知得： 为支座的支反力。 将材料参数和几何尺寸参数代入得： 4）处理边界条件并求解 结构的位移边界条件为： 并将已知的节点位移和节点力代入得： * 求解上述方程，有： 5）求支反力 由上面的方程，可得支反力为： 6）求各个单元的应变和应力 根据应力和应变的定义可得： * 这样求得各个单元的应力与应变。 * 算例二： 所示的四杆桁架结构，各杆的弹性模量和横截面积都为 ，试求解该结构的节点位移，单元应力和支反力。 2、桁架结构算例 * 四杆桁架结构 （1）结构的离散化及编号 对结构进行离散，单元编号和节点编号，有关单元和节点的信息见表。 四杆桁架结构节点及坐标 * 四杆桁架结构的单元编号及对应