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一、重点、难点 重点：因式分解的四种基本方法。 难点：因式分解的理论、方法和技巧。 二、教学过程 （一）复习提要 1．因式分解的意义 把一个多项化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 这一概念的特点是： （1）多项式因式分解的结果一定是积的形式； （2）每个因式必须是整式（单项式或多项式）； （3）各因式要分解到不能再分为止（本章，只在有理数范围内研究因式分解）。 2．因式分解与整式乘法的区别和联系 整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，而因分解是把一个多项式化为几个整式相乘，也就是说，因式分解是整式乘法的逆变形，例如 整式乘法 整式乘法 m（a+b-c）←───→ ma+ab-mc （a+b）（a-b） ←────→ a2-b2 因式分解 因式分解 整式乘法 整式乘法 （a±b）2 ←───→ a2±2ab+b2 （a1x+c1）（a2x+c2）←────→ a1a2x+(a1c2+a2c1)x+c1c2 因式分解 因式分解 知道了这种区别和联系，就可以 （1）明了因式分解的意义； （2）把整式乘法的过程反过来得到因式分解的一些基本方法； （3）利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确。 3．因式分解的基本方法 （1）提公因式法：这是因式分解的基本方法，只要多项式各项有公因式，首先把它提出来。 （2）运用公式法：本章学习了五个公式。 平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b） 完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2 立方和（差公式：a3±b3=（a±b）（a2±ab+b2） 这里的a、b既可以是单项式，也可以是多项式。 （3）十字相乘法：用这种方法能把某些二次三项式ax2+bx+c分解因式。 ax2+bx+c=a1a2x2+（a1c2+a2c1）x+c1c2=（a1x+c1）·（a2x+c2）就是说：a分解成a1、a2；c分解成c1、c2，将a1，a2，c1，c2排列成 a1 c1 a2 c2 若按斜线交叉相乘，再相加正好得a1c2+a2c1=b，则ax2+bx+c分解因式为（a1x+c1）（a2x+c2）。 （4）分组分解法：分组的原则是：把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再使因式分解能在各组之间进行，并且一直进行到底。 分组分解法的关键是要掌握几种方法（提公因式法、运用公式法或十字相乘法）后，能纵观全局，在分组时就预见到下一步因式分解的可能性。没有对前面三种方法的熟练掌握，分组分解就无从下手，不掌握分组的思想，前面学过的方法，用起来就会有很大的局限性。 以上四种基本方法是彼此有联系的，并不是一个多项式就固定只能用一种方法分解因式。 例如二次三项式x2+（a+b）x+ab可用分组分解法分解如下： x2+（a+b）x+ab=x+ax+bx+ab =x（x+a）+b（x+a） =（x+a）（x+b）. 又如a2-2ab+b是完全平方式，可以按十字相乘法分解，还可用分组分解法分解如下： a2-2ab+b2=a2-ab-ab+b2 =a（a-b）-b（a-b） =（a-b）（a-b）=（a-b）2 因此，应该学会具体问题具体分析，在研究具体问题的基础上，加以灵活运用。 4．因式分解的一般步骤 把一个多项式分解因式，一般可按下列步骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法（如十字相乘法）来分解； （4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止（本章只在有理数范围内研究因式分解）。 （二）复习题先讲 例1 把下列各式分解因式： （1）x4+64x； （2）（x2+4）2-16x2； （3）x5-x3+x2-1； （4）a4-